Применение дифференциальных уравнений к решению некоторых задач о колебаниях

В курсовой работе должны быть рассмотрены некоторые задачи о колебаниях, приводящие как к линейным, так и к нелинейным дифференциальным уравнениям. На основе решения полученных дифференциальных уравнений надо исследовать свойства колебаний.

Литература:

[1]. Т. Карман и М. Био. Математические методы в инженерном деле, гл. IV – ГТТИ, 1946, 1948.

[2]. Леви-Чивита и У. Амальди. Курс теоретической механики, т.2. – ИЛ, 1951.

Применение дифференциальных уравнений к задачам теории упругих тел

Различные вопросы сопротивления материалов, колебания упругих тел и т.д. решаются при помощи дифференциальных уравнений. В курсовой работе надо рассмотреть изгиб балок как продольной, так и поперечной и уравнение колебаний струны. Кроме того, надо решить несколько практических задач по указанию руководителя.

Литература:

[1]. Т. Карман и М. Био. Математические методы в инженерном деле, гл. IV – ГТТИ, 1946.

[2]. А.Н. Крылов. О некоторых дифференциальных уравнениях математической физики, гл. 3 и 4. – ГИТТЛ, 1950.

Ряды Фурье и их приложения в теории упругих тел

Для решения дифференциальных уравнений, возникающих в теории упругих тел, применяются бесконечные тригонометрические ряды – ряды Фурье. В курсовой работе должны быть изложены некоторые свойства этих рядов и приложения их к решению дифференциальных уравнений.

Литература:

[1]. Т. Карман и М. Био. Математические методы в инженерном деле, гл. IV – ГТТИ, 1946.

[2]. В.И. Левин. Методы математической физики. – Учпедгиз, 1960.

Особые точки и особые решения дифференциальных уравнений

В работе студент должен рассмотреть:

- теорему Коши существования и единственности решения уравнения с начальным условием;

- причины нарушения единственности решения;

- виды особых точек;

- примеры уравнений, имеющих особые точки указанных видов;

- особые решения;

- способы нахождения особых решений;

- привести примеры уравнений, имеющих особые решения, и найти эти особые решения.

Литература:

1. Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. – 1974. – 766 с.

2. Матвеев Н.М. Дифференциальные уравнения. – Минск, 1977. – 364 с.

3. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. – М., 1958. – 468 с.

4. Гутер Р.С., Янпольский А.Р. Дифференциальные уравнения. – М., 1976. – 304 с.

5. Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Сборник задач по обыкновенным дифференциальным уравнениям. – М., 1978. – 287 с.

Принцип сжатых отображений и его применение к доказательству теоремы существования и единственности решения задачи Коши

В работе студент должен рассмотреть:

- понятие полного метрического пространства;

- понятие отображения пространства в себя;

- понятие неподвижной точки отображения пространства в себя;

- понятие сжимающего отображения;

- рассмотреть теорему Банаха о сжимающем отображении полного метрического пространства в себя;

- применение теоремы Банаха к доказательству теоремы существования и единственности решения задачи Коши.

Литература:

1. Матвеев Н.М. Дифференциальные уравнения. – Минск, 1977. – 364 с.

2. Макаров И.П. Дополнительные главы математического анализа. – М.: просвещение, 1968.