Вычисление объема тела вращения
Объем тела, образованного вращением криволинейной трапецией вокруг оси , которая ограниченной кривой , осью и двумя прямыми и , находится по формуле
. (1.9)
Вычисление площади поверхности тела вращения
Если дуга кривой , где функция непрерывно дифференцируема и , , вращается вокруг оси , то площадь описанной ею поверхности выражается формулой
. (1.10)
2. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО
ИНТЕГРАЛА В ФИЗИКЕ
Вычисление работы переменной силы
Пусть материальная точка перемещается под действием силы , направленной вдоль оси и имеющей переменную величину , где - абсцисса движущейся точки .
Найдем работу силы по перемещению точки вдоль оси из точки в точку . Для этого отрезок точками , где , разобьем на частичных отрезков , , …, . Сила, действующая на отрезке , меняется от точки к точке. Но если длина отрезка достаточно мала, то сила на этом отрезке изменяется незначительно. Ее можно приближенно считать постоянной и равной значению функции в произвольно выбранной точке . Поэтому работа, совершенная этой силой на отрезке , равна произведению .
Приближенное значение работы силы на всем отрезке есть
.
Это приближенное равенство тем точнее, чем меньше длина . Поэтому за точное значение работы принимается предел полученной суммы при условии, что наибольшая длина l частичных отрезков стремится к нулю:
.
Итак, если под действием силы материальная точка движется по прямой , то работа этой силы на участке пути определяется по формуле:
. (2.1)
Для нахождения работы используются следующие методы:
- Метод интегральных сумм.
- Метод дифференциала.
«Метод сумм» основан на представлении определенного интеграла как суммы бесконечного числа бесконечно малых слагаемых.
Пример 2.1. Вычислить работу, которую необходимо затратить на выкачивание воды из резервуара . Удельный вес воды принять , , если : конус, обращенный вершиной вниз, радиус основания которого 4 м, высота 6 м.
Решение. Работа, затрачиваемая на поднятие тела весом на высоту , равна . Но различные слои жидкости в резервуаре находятся на различных глубинах и высота поднятия (до края резервуара) различных слоев не одинакова.
Чтобы найти , рассмотрим треугольники и . Эти треугольники подобные. Тогда
Þ Þ .
Следовательно,
.
Этот слой нужно поднять на высоту . Элементарная работа , затраченная на выкачивание слоя , определяется формулой
или .
Работа по выкачиванию всей воды равна сумме всех элементарных работ, т.е работа находится по формуле
.
В нашем случае , . Тогда
,
Вычисление координат центра масс
Плоской фигуры
Если фигура ограничена снизу линией , а сверху - , т.е. на отрезке , поверхностна плотность фигуры , то вычисление ее центра масс выполняется по формулам:
,
(2.2.)
.