Вычисление объема тел вращения

Предположим, что площадь сечения тела плоскостью, перпендикулярной оси ОХ, может быть выражена функцией от х: при , тогда объем тела, заключенный между перпендикулярными оси ОХ плоскостями и , находится по формуле

. (4.10)

Если криволинейную трапецию (рис.4.10) вращать вокруг оси ОХ, то объем тела вращения будет равен

. (4.11)

Если плоская область, ограниченная кривыми и прямыми и , вращается вокруг оси ОХ, то

(4.12)

Аналогично можно записать формулы для вычисления объемов тел вращения вокруг оси ОY:

(4.13)

(4.14)

Если кривые, ограничивающие плоскую область заданы в параметрическом виде, то к формулам (4.10 - 4.14) следует применить соответствующие замены переменной.

Если криволинейный сектор вращать вокруг полярной оси (см.рис.5.7), то

. (4.15)

Пример 49. Вычислить объем тела, полученного при вращении дуги кривой , вокруг оси ОХ.

Решение. Данная кривая называется цепной линией. График ее изображен на рис.4.9. Объем тела вращения (рис.4.10) вычислим по формуле (4.11)

.

Пример 50. Найти объем параболоида вращения, радиус основания которого равен R, а высота - Н.

Решение. Искомый параболоид вращения с указанными параметрами получится, если будем вращать вокруг оси ОY параболу , (рис.4.11; 4.12), где параметр k легко вычислить исходя из данного условия.

Если , то , поэтому

.

Далее воспользуемся формулой (4.13)

.

Если то

(ед³).

Пример 51. Найти объем тела вращения кривой , вокруг оси ОХ.

Решение. Данная кривая задана в параметрическом виде -

это эллипс (рис.4.13). Искомой фигурой вращения

является эллипсоид. Найдем по формуле (4.11)

Если , то , .

Если , то , .

(куб.ед.).

Вычисление площади поверхностей тел вращения

Площадь поверхности, образованной вращением гладкой кривой АВ вокруг оси ОХ, равна

где - дифференциал дуги кривой.

В зависимости от задания кривой - явное, в параметрическом виде или в полярных координатах - указанную формулу можно расписать так

. (4.16)

. (4.17)

. (4.18)

Пример 52. Найти площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси ОХ дуги кривой , .

Решение. или

Воспользуемся формулой (4.16)

С помощью определенного интеграла можно вычислить и многие другие геометрические и физические характеристики фигур: статические моменты и моменты инерции плоских фигур, координаты центра тяжести дуг кривых и плоских фигур, работу, давление и пр. Подробнее об этом см. [2], Гл.XII, [2] §§6,7,8,9.

Список рекомендуемой литературы

1. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Дифференциальное и интегральное исчисления. - М.: Наука, 1980. 464.

2. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. ТТ.1- 2, М.: Интеграл-Пресс, 2001,2002. - 416с., 544с.

3. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. ЧЧ. 1-2. - М.: Высшая школа, 1980-2000. - 304с., 416с.

4. Запорожец Г.И. Руководство к решению задач по математическому анализу. - М.: Высшая школа, 1966. - 460с.