Работа 9. Изучение динамики вращательного движения
И.Б. Стаценко, А.Г. Рипп
Цель работы
Целью настоящей работы является экспериментальное исследование зависимости углового ускорения маятника Обербека от величины суммарного момента силы, действующей на маятник, и проверка основного закона динамики вращательного движения твёрдого тела с закреплённой осью вращения.
Описание экспериментальной установки
| G |
| a |
| O |
| Ä |
| M1 |
| Рисунок 1.1 – Маятник Обербека |
| R |
| T1 |
| T2 |
| m |
| Mт |
| Барабан |
Маятник Обербека показан на рисунке 1.1. Он состоит из барабана, который может вращаться вокруг своей оси O, и четырёх стержней, скрепленных с ним. На каждый стержень одета привеска, которую можно перемещать вдоль стержня и фиксировать её с помощью стопорного винта в любом положении стержня. Все четыре привески (на рисунке они обозначены цифрами 1, 2, 3, 4) – одинаковые, и в данной лабораторной работе они устанавливаются на одном и том же расстоянии от оси вращения вала O. При этом маятник называется симметричным.
Барабан с помощью двух подшипников укреплён на неподвижном горизонтальном валу, который, в свою очередь, крепится на вертикальной стойке (стойка на рисунке 1.1 не показана), поэтому ось вращения барабана O является фиксированной (закреплённой). Стойка с помощью крепёжных винтов устанавливается на краю лабораторного стола. На барабан намотана нить, свободный конец которой соединён с грузом массой m. Под действием силы тяжести груз опускается вниз (на пол), нить натягивается и приводит во вращение маятник.
Краткая теория
В самом общем случае основной закон динамики вращательного движения утверждает, что скорость изменения момента импульса системы L равна сумме моментов внешних сил М, действующих на систему[8].
. (2.1)
Если система – это твёрдое тело, которое может вращаться вокруг неподвижной (закреплённой) оси, то закон (2.1) записывают в другом виде:
, (2.2)
где e – угловое ускорение тела, I – момент инерции тела относительно его оси вращения[9]. В этом виде основной закон динамики вращательного движения аналогичен второму закону Ньютона , и он означает, что угловое ускорение e телу создают моменты внешних сил, действующих на него. Маятник Обербека как раз и является твёрдым телом с закреплённой осью вращения, поэтому для него справедлив закон (2.2). Задачей данной лабораторной работы является экспериментальная проверка этого закона, а именно: необходимо экспериментально подтвердить, что величина углового ускорения маятника Обербека e пропорциональна величине суммарного момента M внешних сил, действующих на маятник. Исследованию зависимости углового ускорения маятника от его момента инерции I посвящена другая лабораторная работа[10].
Для выполнения поставленной задачи необходимо, прежде всего, определить способ измерения величин e и M.
2.1. Измерение углового ускорения e
Вращательное движение маятника связано с поступательным движением груза. Это выражается в том, что в любой момент времени частота вращения маятника w (угловая скорость) однозначно связана со скоростью опускания груза 𝑣:
, (2.3)
где R – радиус барабана. Дифференцирование этого уравнения по времени даёт:
. (2.4)
Так как по определению – это угловое ускорение e, а – это ускорение a поступательного движения груза[11], то из (2.4) следует:
. (2.5)
Таким образом, для измерения углового ускорения e можно измерить ускорение движения груза a и радиус барабана, а затем воспользоваться формулой (2.5). Радиус барабана можно измерить прямым способом – с помощью штангенциркуля. А измерение ускорения груза можно произвести косвенным способом на основании двух следующих фактов. Во-первых, эксперименты, проводимые с маятником Обербека в учебной лаборатории, свидетельствуют, что движение груза – равноускоренное, то есть . Во-вторых, одно из уравнений кинематики равноускоренного движения имеет вид:
, (2.6)
где S – это длина пути, пройденного телом за время t. Если измерить высоту h, с которой груз начинает движение, и время t, в течение которого груз падает на лабораторный стол, то применение формулы (2.6) даёт:
. (2.7)
2.2. Измерение суммарного момента внешних сил M
На маятник действуют три силы. Первая из них – сила натяжения нити T1, которая стремится раскрутить барабан по часовой стрелке и, следовательно, создаёт момент M1, направленный по оси вращения в сторону от наблюдателя. Этот момент показан крестиком на рисунке 1.1. Вторая сила – сила трения в подшипниках барабана. Эта сила препятствует вращению маятника, следовательно, её момент Mт направлен против момента M1. На рисунке 1.1 направление момента силы Mт показано точкой. Третья сила – сила сопротивления воздуха, действующая на вращающиеся стержни. Эту силу, однако, можно не учитывать по следующим соображениям. Сила сопротивления воздуха зависит от скорости вращения маятника. Так как маятник из начального состояния покоя разгоняется, то его скорость вращения увеличивается, в результате чего увеличивается сила сопротивления воздуха и её момент Mc. Но тогда из основного закона вращательного движения (2.2) следует, что должно изменяться и угловое ускорение маятника e. Однако выше указывалось, что груз движется равноускоренно, так что и, согласно формуле (2.5), . Объяснение этому таково: маятник за время падения груза на лабораторный стол не успевает набрать такой скорости вращения, при которой сила сопротивления воздуха начинает оказывать на его движение заметное влияние и изменять угловое ускорение. Вот и выходит, что этой силой можно пренебречь. Итак,
, (2.8)
Перейдём от векторов к числам. Для этого запишем уравнение (2.8) в проекциях на ось, направленную по оси вращения, причём в сторону от наблюдателя.
, (2.9)
Как измерить значение момента силы трения Mт, пока не ясно. Момент силы натяжения M1 узнать можно. По определению он равен произведению силы натяжения T1 на её плечо, равное радиусу барабана R.
. (2.10)
Силу натяжения T1 можно определить, исходя их того, что она равна силе T2, которая действует со стороны той же нити на груз. А для нахождения силы T2 надо рассмотреть движение груза. Это движение подчиняется основному закону динамики поступательного движения, то есть второму закону Ньютона, согласно которому силы, действующие на груз, придают ему ускорение a.
, (2.11)
где F – сумма действующих сил, m – масса груза. На груз действуют три силы, показанные на рисунке 2.1. Первая из них – сила тяжести , направленная вертикально вниз. Вторая – сила натяжения нити T2, направленная вертикально вверх. Третья сила – сила сопротивления воздуха, направленная против скорости движения, то есть тоже вертикально вверх. Эту силу можно не учитывать по тем же соображениям, по которым не учитывается сила сопротивления воздуха, действующая на вращающиеся стержни маятника. Итак,
+ . (2.12)
Для перехода от векторов к числам запишем уравнение (2.12) в проекциях на вертикальную ось, направленную вниз. При этом учтём, что груз движется и разгоняется вниз, так что его ускорение тоже направлено вниз.
. (2.13)
Как измерить ускорение груза, указано выше, поэтому формула (2.13) задаёт способ измерения силы натяжения нити T2 и равной ей силы T1:
. (2.14)
Подстановка (2.14) в (2.10) даёт:
. (2.15)
Несмотря на то, что момент силы трения Mт неизвестен, измерение углового ускорения и момента силы натяжения нити M1 уже даёт информацию, позволяющую экспериментально убедиться в том, как моменты вешних сил влияют на угловое ускорение маятника. В самом деле, подставив (2.9) в (2.2), получим:
, (2.16)
Согласно этой формуле, угловое ускорение маятника e линейно зависит от момента силы натяжения M1. И этот факт можно проверить экспериментально. Линейность зависимости e от M1 означает, что на графике эта зависимость выглядит в виде прямой линии. Следовательно, надо провести серию экспериментов с маятником Обербека при различных значениях момента силы натяжения нити M1, измеряя каждый раз e и M1. Изменять значение M1 можно, изменяя массу груза m. Затем на основании измеренных значений M1 и e надо построить график зависимости e от M1. Если экспериментальные точки на графике выстроятся вдоль прямой линии[12], то это будет подтверждением формулы (2.16), а следовательно, и подтверждением основного закона динамики вращательного движения (2.2).
Если через экспериментальные точки удастся провести прямую линию, то это не только подтвердит основной закон динамики вращательного движения, но и позволит получить дополнительную информацию: измерить момент силы трения в подшипнике барабана Mт и момент инерции маятника I. Во-первых, из (2.16) следует, что e = 0 при . Это значит, что экспериментальная прямая на графике должна пересечь ось абсцисс[13] в точке , так что точка пересечения даёт значение момента силы трения в подшипнике барабана Mт. Во-вторых, стандартная форма записи линейной зависимости y(x) имеет вид:
, (2.17)
где число k называется угловым коэффициентом, а число b – свободным членом. Сравнение (2.16) и (2.17) показывает, что угловой коэффициент линейной зависимости равен
. (2.18)
Поэтому, если измерить угловой коэффициент, то из (2.18) следует формула, которую можно использовать для измерения момента инерции маятника Обербека:
. (2.19)