Изучение основного закона динамики вращательного движения твердого тела

1. Цель работы: проверка основного закона вращательного движения твердого тела. Экспериментальная проверка зависимости углового ускорения тела от величины момента внешних сил и зависимости момента инерции тела от распределения масс.

2. Теоретическая часть: при вращательном движении, кроме массы и сил, действующих на тело, вводятся физические величины, зависящие от точки приложения силы и от распределения массы тела. Такими величинами являются момент сил и момент инерции.

Момент силы относительно точки О определяется по формуле: , (1)

где – вектор, проведенный из точки О в точку приложения силы .

Момент инерции – физическая величина, характеризующая распределение масс тела и являющаяся мерой инертности вращающегося тела. В общем случае момент инерции можно найти по формуле: , (2)

где dm и dV – элементарные массы и объем, r – кратчайшее расстояние от оси вращения до выбранной элементарной массы, r = dm/dV – плотность тела в данной точке.

Момент инерции маятника Обербека относительно оси вращения Z, перпендикулярной плоскости рисунка(рис. 1), равен сумме моментов инерции четырех грузов массы т₀и четырех стержней массы т_ст , (3)

где r – расстояние от оси вращения до центра груза т₀.

Момент силы , действуя на тело с моментом инерции J, закрепленное на оси Z, вызывает угловое ускорение e , (4)

где М_Z - проекция вектора на ось вращения. Уравнение (4) выражает основной закон динамики вращательного движения.

Для экспериментального определения M_Z, J_Z, e и проверки уравнения (4) удобно использовать крестообразный маятник (маятник Обербека) (рис. 1).

Вращение маятника Обербека создается за счет груза массой m, движущегося поступательно вертикально вниз. По второму закону Ньютона , (5)

где сила натяжения нити.

В проекциях на ось X . (6)

На крестообразный маятник действует, согласно третьему закону Ньютона, сила , причем . Эта сила создает вращательный момент, проекция которого на ось вращения Z равна M_Z = R T, (7)

где R – радиус шкива.

Основное уравнение динамики вращательного движения для маятника будет иметь вид: , (8)

где – момент инерции, рассчитываемый по формуле (3), .

Решая совместно уравнения (6) и (8), определим :

(9)

Выражая Т из (6) и подставляя в (8), получим:

. (10)

Как следует из (6) движение груза m является равноускоренным (силы, приложенные к грузу постоянны), и поэтому, учтя, что v₀ = 0, получим .

За время t груз проходит расстояние h, равное высоте поднятия груза над подставкой, измерив время падения груза и высоту h, получим a = 2h/t². (11)

Подставив последнее равенство в (8), получим

. (12)

Ускорение груза а равно тангенциальному ускорению вращающегося маятника а_t, т.е. , следовательно,

. (13)

Момент инерции маятника найдем, решая совместно (4), (11) и (12): . (14)

3. Экспериментальная часть