Совместные и несовместные события. Противоположные события. Полная группа событий

События. Виды событий

Одно из базовых понятий тервера уже озвучено выше – это событие. События бываютдостоверными, невозможными и случайными.

Достоверным называют событие, которое в результате испытания (осуществления определенных действий, определённого комплекса условий) обязательно произойдёт. Например, в условиях земного тяготения подброшенная монета непременно упадёт вниз.

Невозможным называют событие, которое заведомо не произойдёт в результате испытания. Пример невозможного события: в условиях земного тяготения подброшенная монета улетит вверх.

И, наконец, событие называется случайным, если в результате испытания оно может, как произойти, так и не произойти, при этом должен иметь место принципиальный критерий случайности: случайное событие – есть следствие случайных факторов, воздействие которых предугадать невозможно или крайне затруднительно. Пример: в результате броска монеты выпадет «орёл». В рассмотренном случае случайные факторы – это форма и физические характеристики монеты, сила/направление броска, сопротивление воздуха и т.д.

Подчёркнутый критерий случайности очень важен – так, например, карточный шулер может очень ловко имитировать случайность и давать выигрывать жертве, но ни о каких случайных факторах, влияющих на итоговый результат, речи не идёт.

Любой результат испытания называется исходом, который, собственно и представляет собой появление определённого события. В частности, при подбрасывании монеты возможно 2 исхода (случайных события): выпадет орёл, выпадет решка. Естественно, подразумевается, что данное испытание проводится в таких условиях, что монета не может встать на ребро или, скажем, зависнуть в невесомости.

События (любые) обозначают большими латинскими буквами либо теми же буквами с подстрочными индексами, например: . Исключение составляет буква , которая зарезервирована под другие нужды.

Запишем следующие случайные события:

– в результате броска монеты выпадет «орёл»;
– в результате броска игральной кости (кубика) выпадет 5 очков;
– из колоды будет извлечена карта трефовой масти (по умолчанию колода считается полной).

Да, события прямо так и записывают в практических задачах, при этом в уместных случаях удобно использовать «говорящие» подстрочные индексы (хотя можно обойтись и без них).

Следует в третий раз подчеркнуть, что случайные события обязательно удовлетворяют вышеприведённому критерию случайности. В этом смысле снова показателен 3-й пример: если из колоды изначально удалить все карты трефовой масти, то событие становитсяневозможным. Наоборот, если испытателю известно, что, например, дама треф лежит снизу, то он при желании может сделать событие достоверным =) Таким образом, в данном примере предполагается, что карты хорошо перемешаны и их рубашки неразличимы, т.е. колода не является краплёной. Причём, здесь под «крапом» понимаются даже не «умелые руки», ликвидирующие случайность вашего выигрыша, а видимые дефекты карт. Например, рубашка той же дамы треф может быть грязной, порванной, заклеенной скотчем… блин, какое-то пособие для начинающего чикатило получилось =)

Таким образом, при розыгрыше важного жребия всегда есть смысл невзначай посмотреть, а не одинаковы ли грани монеты ;-)

Другая важная характеристика событий – это их равновозможность. Два или бОльшее количество событий называют равновозможными, если ни одно из них не является более возможным, чем другие. Например:

выпадение орла или решки при броске монеты;
выпадение 1, 2, 3, 4, 5 или 6 очков при броске игрального кубика;
извлечение карты трефовой, пиковой, бубновой или червовой масти из колоды.

При этом предполагается, что монета и кубик однородны и имеют геометрически правильную форму, а колода хорошо перемешана и «идеальна» с точки зрения неразличимости рубашек карт.

Могут ли быть те же события не равновозможными? Могут! Например, если у монеты или кубика смещён центр тяжести, то гораздо чаще будут выпадать вполне определённые грани. Как говорится, ещё одна лазейка для мошенников. События – извлечение трефы, пики, червы или бубны тоже равновозможны. Однако равновозможность легко нарушит фокусник, который, тасуя колоду (даже «идеальную»), ловко подсмотрит и спрячет в рукаве, например, туза треф. Здесь становится менее возможным, что оппоненту будет сдана трефа, и, главное, менее возможно, что будет сдан туз.

Тем не менее, в рассмотренных трёх случаях при потере равновозможности всё же сохраняется случайность событий.

Совместные и несовместные события. Противоположные события. Полная группа событий

События называют несовместными, если в одном и том же испытании появление одного из событий исключает появление других событий. Простейшим примером несовместных событий является пара противоположных событий. Событие, противоположное данному, обычно обозначается той же латинской буквой с чёрточкой вверху. Например:

– в результате броска монеты выпадет орёл;
– в результате броска монеты выпадет решка.

Совершено ясно, что в отдельно взятом испытании появление орла исключает появление решки (и наоборот), поэтому данные события и называются несовместными.

Противоположные события легко формулируются из соображений элементарной логики:

– в результате броска игрального кубика выпадет 5 очков;
– в результате броска игрального кубика выпадет число очков, отличное от пяти.

Либо пять, либо не пять – третьего не дано, т.е. события несовместны ипротивоположны.

Аналогично – или трефа или карта другой масти:

– из колоды будет извлечена карта трефовой масти;
– из колоды будет извлечена пика, черва или бубна.

Множество несовместных событий образуют полную группу событий, если в результатеотдельно взятого испытания обязательно появится одно из этих событий. Очевидно, что любая пара противоположных событий (в частности, примеры выше) образует полную группу. Однако в различных задачах с одним и тем же объектом могут фигурировать разные события, например, для игрального кубика характерно рассмотрение следующего набора:

– в результате броска игрального кубика выпадет 1 очко;
– … 2 очка;
– … 3 очка;
– … 4 очка;
– … 5 очков;
– … 6 очков.

События несовместны (поскольку появление какой-либо грани исключает одновременное появление других) и образуют полную группу (так как в результате испытания непременно появится одно из этих шести событий).

Ещё одно важное понятие, которое нам скоро потребуется – это элементарность исхода (события). Если совсем просто, то элементарное событие «нельзя разложить на другие события». Например, события элементарны, но событие не является таковым, так как подразумевает выпадение 1, 2, 3, 4 или 6 очков (включает в себя 5 элементарных исходов).

В примере с картами события (извлечение трефы, пики, червы или бубны соответственно) несовместны и образуют полную группу, но они неэлементарны. Если считать, что в колоде 36 карт, то каждое из перечисленных событий включает в себя 9 элементарных исходов. Аналогично – события (извлечение шестёрки, семёрки, …, короля, туза) несовместны, образуют полную группу и неэлементарны (каждое включает в себя 4 исхода).

Таким образом, элементарным исходом здесь считается лишь извлечение какой-то конкретной карты, и, разумеется, 36 несовместных элементарных исходов тоже образуют полную группу событий.

Совместные события менее значимы с точки зрения решения практических задач, но обходить их стороной не будем. События называются совместными, если в отдельно взятом испытании появление одного из них не исключает появление другого. Например:

– из колоды карт будет извлечена трефа;
– из колоды карт будет извлечена семёрка.

Если быть совсем лаконичным, одно не исключает другого.

Понятие совместности охватывает и бОльшее количество событий:

– завтра в 12.00 будет дождь;
– завтра в 12.00 будет гроза;
– завтра в 12.00 будет солнце.

Ситуация, конечно, довольно редкая, но совместное появление всех трёх событий в принципе не исключено. Следует отметить, что перечисленные события совместны и попарно, т.е. может быть только ливень с грозой или грибной дождик, или погромыхает неподалёку на фоне ясного неба.

Алгебра событий

Мужайтесь, будет и матан =)

Пожалуйста, запомните ВАЖНЕЙШЕЕ ПРАВИЛО, без которого освоить тервер просто нереально:

Операция сложения событийозначает логическую связку ИЛИ,
а операция умножения событий – логическую связку И.

1) Суммой двух событий и называется событие которое состоит в том, что наступит или событие или событие или оба события одновременно. В том случае, если события несовместны, последний вариант отпадает, то есть может наступить илисобытие или событие .

Правило распространяется и на бОльшее количество слагаемых, например, событие состоит в том, что произойдёт хотя бы одно из событий , а если события несовместны – то одно и только одно событие из этой суммы: илисобытие , или событие , или событие , или событие ,или событие .

Примеров масса:

События (при броске игральной кости не выпадет 5 очков) состоит в том, что выпадет или 1, или 2, или 3, или 4, или 6 очков.

Событие (выпадет не более двух очков) состоит в том, что появится 1 или 2очка.

Событие (будет чётное число очков) состоит в том, что выпадет или 2 или4 или 6 очков.

Событие заключается в том, что из колоды будет извлечена карта красной масти (черва или бубна), а событие – в том, что будет извлечена «картинка» (валет или дама или король или туз).

Чуть занятнее дело с совместными событиями:

Событие состоит в том, что из колоды будет извлечена трефа или семёрка илисемёрка треф. Согласно данному выше определению, хотя бы что-то – или любая трефа или любая семёрка или их «пересечение» – семёрка треф. Легко подсчитать, что данному событию соответствует 12 элементарных исходов (9 трефовых карт + 3 оставшиеся семёрки).

Событие состоит в том, что завтра в 12.00 наступит ХОТЯ БЫ ОДНО из суммируемых совместных событий, а именно:

– или будет только дождь / только гроза / только солнце;
– или наступит только какая-нибудь пара событий (дождь + гроза / дождь + солнце / гроза + солнце);
– или все три события появятся одновременно.

То есть, событие включает в себя 7 возможных исходов.

Второй столп алгебры событий:

2) Произведением двух событий и называют событие , которое состоит в совместном появлении этих событий, иными словами, умножение означает, что при некоторых обстоятельствах наступит и событие , и событие . Аналогичное утверждение справедливо и для бОльшего количества событий, так, например, произведение подразумевает, что при определённых условиях произойдёт исобытие , и событие , и событие , …, и событие .

Рассмотрим испытание, в котором подбрасываются две монетыи следующие события:

– на 1-й монете выпадет орёл;
– на 1-й монете выпадет решка;
– на 2-й монете выпадет орёл;
– на 2-й монете выпадет решка.

Тогда:
– событие состоит в том, что на обеих монетах (на 1-й и на 2-й) выпадет орёл;
– событие состоит в том, что на обеих монетах (на 1-й и на 2-й) выпадет решка;
– событие состоит в том, что на 1-й монете выпадет орёл и на 2-й монете решка;
– событие состоит в том, что на 1-й монете выпадет решка и на 2-й монете орёл.

Нетрудно заметить, что события несовместны (т.к. не может, например, выпасть 2 орла и в то же самое время 2 решки) и образуют полную группу(поскольку учтены все возможные исходы броска двух монет). Давайте просуммируем данные события: . Как интерпретировать эту запись? Очень просто – умножение означает логическую связку И, а сложение – ИЛИ. Таким образом, сумму легко прочитать понятным человеческим языком: «выпадут два орлаили две решки или на 1-й монете выпадет орёл и на 2-й решка или на 1-й монете выпадет решка и на 2-й монете орёл »

Это был пример, когда в одном испытании задействовано несколько объектов, в данном случае – две монеты. Другая распространенная в практических задачах схема – этоповторные испытания, когда, например, один и тот же игральный кубик бросается 3 раза подряд. В качестве демонстрации рассмотрим следующие события:

– в 1-м броске выпадет 4 очка;
– во 2-м броске выпадет 5 очков;
– в 3-м броске выпадет 6 очков.

Тогда событие состоит в том, что в 1-м броске выпадет 4 очка и во 2-м броске выпадет 5 очков и в 3-м броске выпадет 6 очков. Очевидно, что в случае с кубиком будет значительно больше комбинаций (исходов), чем, если бы мы подбрасывали монету.

…Понимаю, что, возможно, разбираются не очень интересные примеры, но это часто встречающиеся в задачах вещи и от них никуда не деться. Помимо монетки, кубика и колоды карт вас поджидают урны с разноцветными шарами, несколько анонимов, стреляющих по мишени, и неутомимый рабочий, который постоянно вытачивает какие-то детали =)

Вероятность события

Вероятность события – это центральное понятие теории вероятностей. …Убийственно логичная вещь, но с чего-то надо было начинать =) Существует несколько подходов к её определению:

Классическое определение вероятности;
Геометрическое определение вероятности;
Статистическое определение вероятности.

В данной статье я остановлюсь на классическом определении вероятностей, которое находит наиболее широкое применение в учебных заданиях.

Обозначения. Вероятность некоторого события обозначается большой латинской буквой , а само событие берётся в скобки, выступая в роли своеобразного аргумента. Например:

– вероятность того, что в результате броска монеты выпадет «орёл»;
– вероятность того, что в результате броска игральной кости выпадет 5 очков;
– вероятность того, что из колоды будет извлечена карта трефовой масти.

Также для обозначения вероятности широко используется маленькая буква . В частности, можно отказаться от громоздких обозначений событий и их вероятностей в пользу следующей стилистики::

– вероятность того, что в результате броска монеты выпадет «орёл»;
– вероятность того, что в результате броска игральной кости выпадет 5 очков;
– вероятность того, что из колоды будет извлечена карта трефовой масти.

Данный вариант популярен при решении практических задач, поскольку позволяет заметно сократить запись решения. Как и в первом случае, здесь удобно использовать «говорящие» подстрочные/надстрочные индексы.

Все уже давно догадались о числах, которые я только что записал выше, и сейчас мы узнаем, как они получились:

Классическое определение вероятности:

Вероятностью наступления события в некотором испытании называют отношение , где:

– общее число всех равновозможных, элементарных исходов этого испытания, которые образуют полную группу событий;

– количество элементарных исходов, благоприятствующих событию .

При броске монеты может выпасть либо орёл, либо решка – данные события образуютполную группу, таким образом, общее число исходов ; при этом, каждый из нихэлементарен и равновозможен. Событию благоприятствует исход (выпадение орла). По классическому определению вероятностей: .

Аналогично – в результате броска кубика может появиться элементарных равновозможных исходов, образующих полную группу, а событию благоприятствует единственный исход (выпадение пятёрки). Поэтому: .

Особое внимание обращаю на третий пример. Здесь будет некорректным сказать «раз в колоде 4 масти, то вероятность извлечения трефы ». В определении речь идёт об элементарных исходах, поэтому правильный порядок рассуждений таков: всего в колоде 36 карт (несовместные элементарные исходы, образующие полную группу), из них 9 карт трефовой масти (кол-во элементарных исходов, благоприятствующих событию ); по классическому определению вероятности: . Именно так!

Вероятности можно выразить и в процентах, например: вероятность выпадение орла равна , выпадения пятёрки , извлечения трефы , но в теории вероятностей ЭТОГО ДЕЛАТЬ НЕ ПРИНЯТО (хотя не возбраняется прикидывать проценты в уме).

Принято использовать доли единицы, и, очевидно, что вероятность может изменяться в пределах . При этом если , то событие является невозможным, если – достоверным, а если , то речь идёт о случайном событии.