Раздел 4. Теория вероятностей

Тема 12. Основные понятия теории вероятностей. Случайные события и их вероятности

Элементы комбинаторики: сочетания, размещения, перестановки

3.1. В группе из 20 студентов необходимо выбрать троих делегатов на студенческую конференцию. Сколькими различными способами можно это сделать?

3.2. Сколькими различными способами можно заполнить карточку «Спортлото», если для ее заполнения требуется отметить 6 видов спорта из перечисленных в карточке 49 видов?

3.3. Сколько разных требований на 3 книги может составить читатель, если в библиотеке всего 1000 наименований книг?

3.4. В ассортименте магазина 10 видов шоколадных конфет. Для составления новогоднего подарка используют 6 видов, причем берется одинаковое количество конфет каждого вида. Сколько различных подарков можно составить?

3.5. Для составления новогодних подарков куплено 6 видов шоколадных конфет и 8 видов карамели. Для составления одного подарка используется 4 вида шоколадных конфет и 5 видов карамели. Сколькими различными способами можно собрать подарок (количество конфет каждого вида, включаемого в подарок, одинаково)?

3.6. Из пяти имеющихся красок выбирают две краски для получения смеси. Сколько различных смесей можно получить, если разными считаются смеси, имеющие разный состав красок?

3.7. На четвертом курсе одного из факультетов читается 6 спецкурсов. Каждый четверокурсник обязан выбрать для посещения два спецкурса. Сколькими способами он может это сделать?

3.8. Из одиннадцати студентов, среди которых два отличника, необходимо выбрать восьмерых для работы по обслуживанию студенческой олимпиады. Сколькими способами это можно сделать, если отличники обязательно должны войти в число этих восьмерых?

Понятие случайного события. Классическое определение вероятности события

В задачах 3.9 – 3.12построить пространство элементарных событий по описанию эксперимента и составить подмножества, соответствующие указанным событиям.

3.9. Игральная кость подбрасывается дважды. Наблюдаемый результат - пара чисел, выпавших в первый и второй раз. События: А₁ – оба раза выпало число 6; А₂ – число 6 не выпало ни разу; А₃ – число 6 выпало ровно один раз; А₄ – оба раза выпало число очков, кратное трем; А₅ – первый раз выпало четное число, а второй раз – нечетное; А₆ – оба раза выпало одно и то же число; А₇ – сумма выпавших чисел не больше 4.

3.10. Подбрасываются три монеты. Наблюдаемый результат – выпадение орла (О) или решки (Р) на первой, второй и третьей монетах. События: А₁ – решка выпала на одной монете; А₂ – решка не выпала ни на одной монете; А₃ – решка выпала на первой монете; А₄ – орел выпал хотя бы на двух монетах.

3.11. Эксперимент состоит в раскладывании наудачу трех занумерованных шаров по трем ящикам. В каждый ящик может поместиться любое число шаров. Наблюдаемый результат – тройка чисел (i, j, k), где i, j, k – номера ящиков, в которые попали соответственно первый, второй и третий шары. События: А₁ – первый ящик пустой; А₂ – в каждый ящик попало по одному шару; А₃ – все шары попали в один ящик.

3.12. Производится стрельба по плоской прямоугольной мишени: - 1 . Наблюдаемый результат – координаты точки попадания в декартовой системе координат. По условиям стрельбы непопадание в указанный прямоугольник исключено. События: А₁ – абсцисса точки попадания не меньше ординаты; А₂ – произведение координат точки неотрицательно; А₃ – абсцисса точки по модулю не больше единицы.

3.13. Из 20 яблок, находящихся в корзине, 6 яблок – сорта «шафран». Найти вероятность того, что взятое из корзины яблоко не принадлежит сорту «шафран».

3.14. В магазин поступило 12 компьютеров, среди которых три имеют скрытые дефекты. Найти вероятность того, что выбранный наудачу компьютер не имеет скрытых дефектов.

3.15. Автомат, изготавливающий однотипные детали, дает в среднем 6% брака. Из большой партии взята наудачу одна деталь для контроля. Найти вероятность того, что она бракованная.

3.16. Игральная кость подбрасывается один раз. Найти вероятности следующих событий: А₁ - выпало число 5; А₂ – выпало число, кратное трем; А₃ – выпало число, меньшее 5.

3.17. Найти вероятность событий из задачи3.2, а также в условиях задачи 3.2найти вероятности следующих событий: А₈ – оба раза выпало число, меньшее 5; А₉ – число 6 выпало хотя бы один раз.

Операции над событиями. Условная вероятность. Теоремы сложения и умножения вероятностей

3.18.Игральная кость подбрасывается один раз. Наблюдаемый результат – выпавшее число очков. Рассмотрим события: А₁ – выпавшее число кратно трем; А₂ – выпавшее число нечетно; А₃ – выпавшее число не меньше трех; А₄ – выпавшее число не больше двух; А₅ – выпало число от 2 до 4. Выяснить, какие из этих событий являются попарно несовместными. Сформулировать, в чем состоят события _2,, ₃, А₁А₂, А₁+А₂, А₁А₃, А₁+А₃, А₁А₄, А₁+А₄, А₁А₅, А₂А₃, А₂А₅, А₂+А₅, А₃А₄, А₃+А₄, А₃А₅, А₃+А₅, А₄+А₅, А₁+А₂+А₅.

3.19.Из партии калькуляторов выбирают пять калькуляторов для проверки. Наблюдаемый результат – число калькуляторов, имеющих брак. Рассмотрим события: А₁ – число бракованных калькуляторов не более трех; А₂ – бракованных калькуляторов – три; А₃ – число бракованных калькуляторов не менее двух; А₄ – есть хотя бы четыре калькулятора с браком; А₅ – есть хотя бы один калькулятор с браком. Выяснить, какие из этих событий являются попарно несовместными. Сформулировать, в чем состоят события ₁, ₂, ₄, ₅, А₁А₃, А₁+А₃, А₂А₃, А₂+А₃, А₁А₅, А₁+А₅, А₂+А₄, А₂А₅, А₃А₄, А₃+А₄.

3.20. Производится осмотр телевизора, при котором можно обнаружить всего 4 различных дефекта. Наблюдаемый результат – количество обнаруженных дефектов. Рассмотрим события: А₁ – обнаружен один дефект; А₂ – обнаружено два дефекта; А₃ – обнаружено три дефекта; А₄ – обнаружены все дефекты; А₅ – обнаружен хотя бы один дефект; А₆ – обнаружено не менее двух дефектов; А₇ – обнаружено не более двух дефектов. Выяснить, какие события являются попарно несовместными. Сформулировать, в чем состоят события ₄, ₅, ₇, А₁А₅, А₁+А₅, А₁А₆, А₁+А₆, А₁А₇, А₁+А₇, А₃А₄, А₃+А₄, А₅А₇, А₅+А₇, А₆А₇, А₆+А₇, А₂+А₃+А₄.

3.21. Электрическая цепь составлена по схеме, приведенной на рис.1. Событие А_k – элемент с номером k вышел из строя, k=1,2,3,4; событие В – разрыв цепи. Выразить событие В в алгебре событий А₁, А₂, А₃, А₄.

Рис. 1

3.22. Электрическая цепь составлена по схеме, приведенной на рис.2. Событие А_k – элемент с номером k вышел из строя, k=1,2,3,4,5; событие В – разрыв цепи. Выразить событие В в алгебре событий А₁, А₂, А₃, А₄, А₅.

Рис. 2

3.23. Из урны, в которой находятся 7 черных и 8 белых шаров, вынимают наугад три шара. Найти вероятность того, что они будут одного цвета.

Формула полной вероятности. Формула Байеса

3.24.На складе имеется 20 телефонных аппаратов корейского производства и 30 – немецкого. В среднем 5% корейских аппаратов и 2% немецких имеют брак. Найти вероятность того, что наугад взятый телефонный аппарат имеет брак.

3.25.На базу поступили одинаковые по объему партии холодильников с двух разных заводов. Вероятность того, что холодильник проработает без поломок в течение гарантийного срока, равна 0,85, если холодильник собран на 1-ом заводе, и 0,95, если на втором. Найти вероятность того, что наугад взятый холодильник не сломается в течение гарантийного срока.

3.26.Вся продукция фабрики выпускается станками трех типов. На станках первого типа выпускается 30% всей продукции, на станках второго – 20%. Станки первого типа дают 2% брака, второго типа – 1,5% и третьего – 1,2%. Найти вероятность того, что наугад взятое изделие этой фабрики окажется бракованным.

3.27. Партия транзисторов, среди которых 10% дефектных, поступила на проверку. Схема проверки такова, что с вероятностью 0,95 дефект обнаруживается (если он есть), и существует ненулевая вероятность 0,03 того, что исправный транзистор будет признан дефектным. Найти вероятность того, что случайно выбранный из партии транзистор будет признан дефектным.

3.28. В двух урнах находятся шары черного и белого цвета. Пятая часть шаров в первой урне и треть шаров во второй урне – черного цвета. Наугад выбирается урна и из нее извлекается шар. Найти вероятность того, что он – черный.

3.29.Из урны, содержащей 5 белый и 6 черных шаров, переложен вынутый наугад шар в урну, содержащую 5 белых и 3 черных шара. Найти вероятность того, что вынутый затем наугад шар из второй урны окажется белым.

3.30. Имеется 3 урны. В первой 3 белых и 4 черных шара, во второй – 2 белых и 5 черных шаров, в третьей – 4 белых и 3 черных шара. Наугад выбрали урну и вынули два шара. Найти вероятность того, что оба шара окажутся белыми. Найти вероятность того, что шары были вынуты из третьей урны, если оказалось, что они оба белые.

Литература: [2; 3; 7; 8]

Учебно-методическая литература: [4; 5]