Раздел 3. Теория вероятностей и математическая статистика

Программа междисциплинарного государственного экзамена

по специальности 090102.65 – Компьютерная безопасность

БЛОК 1

Раздел 1. Математический анализ

1. Непрерывность действительных функций одной действительной переменной. Классификация точек разрыва. Свойства функций непрерывных на отрезке. Доказательство теоремы о промежуточном значении непрерывной функции.

2. Дифференцируемость функций одной и нескольких действительных переменных. Дифференциал функции. Достаточные условия дифференцируемости (без доказательства). Основные теоремы дифференциального исчисления функций одной переменной: теорема Ферма (с доказательством), теоремы Роля, Лагранжа, Коши (без доказательства).

3. Вывод формулы Тейлора для функций одной действительной переменной. Экстремумы функций одной переменной. Достаточное условие существования экстремума (с доказательством).

4. Абсолютно и условно сходящиеся числовые ряды: признаки сравнения и Даламбера (с доказательством), признаки Коши и Лейбница (без доказательства.)

5. Степенные ряды: теорема Абеля (без доказательства). Область и радиус сходимости степенного ряда. Ряды Тейлора и Маклорена. Достаточное условие разложимости функции в ряд Тейлора (с доказательством).

6. Первообразная и неопределенный интеграл. Определенный интеграл и его свойства. Существование первообразной для непрерывной функции (без доказательства). Интеграл с переменным верхним пределом, формула Ньютона-Лейбница (с доказательством).

7. Ряды Фурье. Признак Дини поточечной сходимости рядов Фурье (с доказательством).

Раздел 2. Алгебра

8. Матрицы и операции над ними. Определители матриц и их свойства. Ранг матрицы. Критерий обратимости матриц (с доказательством). Способы вычисления обратной матрицы.

9. Системы линейных уравнений. Критерий Кронекера–Капелли (с доказательством). Теорема о структуре общего решения системы линейных уравнений (без доказательства).

10. Кольцо вычетов. Сравнения и их основные свойства. Малая теорема Ферма (с доказательством).

11. Кольцо многочленов. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное. Алгоритм Евклида.

12. Группы и их основные свойства. Примеры: циклические группы, конечные абелевые группы. Смежные классы по подгруппе. Теорема Лагранжа (с доказательством).

13. Векторные пространства их базисы и размерность. Координаты векторов в базисе и их изменение при переходе к другому базису.

14. Линейные преобразования векторного пространства и их матрицы. Характеристический многочлен линейного преобразования. Собственные значения и собственные векторы.

15. Квадратичные формы, их матрицы и ранг. Эквивалентность квадратичных форм, приведение к каноническому виду (с доказательством). Положительно определенные квадратичные формы, критерий Сильвестра (без доказательства).

16. Конечные поля. Характеристика поля. Построение конечного поля с заданным числом элементов.

Раздел 3. Теория вероятностей и математическая статистика

17. Вероятностное пространство. Аксиоматика А.Н. Колмогорова. Свойства вероятностной меры. Классическое определение вероятности.

18. Условные вероятности. Независимость событий. Формула полной вероятности и формула Байеса.

19. Случайные величины. Функции распределения случайных величин и их свойства. Плотности распределения. Типовые распределения: биномиальное, пуассоновское, равномерное, гауссовское (нормальное). Многомерные функции распределения. Многомерное нормальное Распределение. Независимые случайные величины.

20. Определение математического ожидания случайной величины, как интеграла Лебега по вероятностной мере. Формулы вычисления математических ожидания для дискретных и абсолютно непрерывных случайных величин. Дисперсия случайной величины и ее свойства. Коэффициент ковариации случайных величин. Вычисление математических ожиданий и дисперсий случайных величин имеющих типовые распределения.

21. Неравенство П.Л. Чебышева (с доказательством). Закон больших чисел в форме Чебышева (с доказательством).

22. Определение характеристических функций случайных величин. Вычисление характеристических функций случайных величин имеющих типовые распределения. Свойства характеристических функций (без доказательства). Метод характеристических функций в доказательстве предельных теорем. Центральная предельная теорема для независимых одинаково распределенных случайных величин с ограниченной дисперсией (с доказательством). Следствие: теорема Муавра-Лапласа.