Векторы. Основные определения.

Вектором называется направленный отрезок. К векторам относится также нулевой вектор, начало и конец которого совпадают. Вектор характеризуется своей длиной (модулем) и направлением.

B

A

Линейные операции над векторами:

1). Сложение векторов.

Складывают два вектора по правилу параллелограмма или треугольника. Правило треугольника можно обобщить на n-слагаемых. Если каждый раз соединять начало последующего вектора с концом предыдущего, то получим ломаную линию. Вектор, соединяющий начало первого с концом последнего и есть сумма.

2). Умножение вектора на число.

При умножении вектора на число его модуль увеличивается (если ) или уменьшается (если ) в раз, а направление не изменяется, если и меняется на противоположное, если .

В любом случае векторы и лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Такие векторы называются коллинеарные.

Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

Векторы, лежащие в одной плоскости или в параллельных плоскостях, называются компланарными.

Свойства линейных операций:

1). Коммутативность

2). Ассоциативность

,

3). Дистрибутивность

, где

Рассмотрим систему векторов . Выражение вида , где называется линейной комбинацией векторов . Если в линейной комбинации все , то система векторов линейно независима. Если существуют , то система – линейно зависима.

Любая упорядоченная линейно независимая тройка векторов называется базисом в пространстве. Векторы называются базисными. Если базисные вектора взаимно перпендикулярны, то базис называется ортогональным. Если базисные векторы имеют единичную длину, то они называются ортами. Базис называется ортонормированным, если базисные векторы единичные и взаимно перпендикулярные. Декартова система координат – ортонормированная, орты прямоугольной декартовой системы координат обозначают .

Пусть - некоторый базис в пространстве. Пусть - произвольный вектор пространства. Рассмотрим линейную комбинацию

Так как любая четвёрка векторов линейно зависима, то не все коэффициенты линейной комбинации равны 0.

Эта формула даёт разложение вектора по базису ( ). Коэффициенты - координаты вектора в этом базисе. Разложение вектора по базису единственное, т.е. координаты вектора однозначно определяют сам вектор.

В связи с этим можно записать следующие свойства:

Пусть даны векторы и

1). Равные векторы имеют одинаковые координаты, т.е. если , то .

2). При умножении вектора на число, его координаты умножаются на это число .

3). При сложении двух векторов складываются их соответствующие координаты .

Проекцией вектора на вектор называется число , где .

Координаты вектора в прямоугольном базисе совпадают с проекциями вектора на базисные орты , а длина вектора равна

Числа

называются направляющими косинусами вектора .

Скалярное произведение.

Скалярным произведением двух векторов и называют число равное , где - угол между векторами и .

Свойства скалярного произведения:

1).

2).

3).

4).

Если известны координаты векторов , , то скалярное произведение можно найти по формуле:

Скалярный квадрат вектора вычисляют по формуле:

Геометрические свойства скалярного произведения:

1).

2). Если , если

3). Формула для определения угла между векторами:

Векторное произведение.

Упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется правой, если поворот вектора к вектору на наименьший угол в плоскости векторов и виден из конца вектора происходящим против движения часовой стрелки.

В случае, если поворот по часовой стрелке, тройка называется левой.

Векторным произведением называется вектор , определяемый следующими условиями:

1). Тройка векторов правая

2). Вектор перпендикулярен и

3). Длина вектора равна площади параллелограмма, построенного на векторах и , т.е.

Из определения векторного произведения следует, что

Свойства векторного произведения:

1).

2).

3).

4).

В координатной форме векторное произведение вычисляется по формуле:

Смешанное произведение.

Смешанным произведением трёх векторов называют число равное .

Геометрические свойства:

1). Если V – объём параллелепипеда, построенного на векторах , то . Если - правая тройка, то , если левая, то .

2). Вектора компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно 0.

Основное алгебраическое свойство смешанного произведения состоит в том, что циклическая перестановка не меняет его величины, т.е.

Это свойство позволяет ввести обозначение:

(результат не зависит от того, как расставить скобки в правой части)

Смешанное произведение через координаты записывается в виде:

Примеры:

1. Доказать, что векторы образуют базис и найти разложение вектора в этом базисе.

Решение: Векторы в пространстве образуют базис, если они не- компланарны. Найдём смешанное произведение этих векторов.

Следовательно, векторы образуют базис. Пусть вектор имеет в этом базисе координаты .

Тогда .

Два вектора равны, если равны их соответствующие координаты.

Решив эту систему, найдём .

Таким образом, .

2. Даны точки .

Найти: а). длину отрезка АВ,

б). в ,

в). ,

г). направляющие и единичный вектор направления .

Решение: а).

б). угол B в есть угол между векторами и .

в).

г).

Направляющие .

3. Найти , если .

Решение:

.

4. При каком векторы и перпендикулярны?

Решение:

Если векторы перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю.

.

5. Найти угол между векторами и .

.

6. Найти угол между векторами и , где и - единичные векторы и угол между ними равен .

.

7. Найти векторное произведение векторов и

.

8. Вычислить площадь треугольника с вершинами .

Решение:

.

9. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах и , если .

10. Даны точки .

Найти: а). высоту , опущенную из вершины А на сторону ВС;

б). объём пирамиды ABCD.

а). С одной стороны , с другой стороны .

Таким образом, .

B

h

A C

б). Объём пирамиды ABCD равен объёма параллелепипеда, построенного на векторах .

.

.

11. Доказать, что точки лежат в одной плоскости.

Рассмотрим векторы .

Найдём их смешанное произведение:

Значит, векторы компланарны, следовательно, точки A,B,C,D лежат в одной плоскости.

12. Дана пирамида, вершины которой имеют координаты: . Найти высоту, опущенную на грань BCD.

Решение: С одной стороны с другой .

Таким образом, .

Следовательно, .

.

.

Прямая на плоскости.

Прямая на плоскости может быть задана уравнением одного из следующих видов:

1). - общее уравнение прямой;

2). - уравнение с угловым коэффициентом. - угловой коэффициент и он равен тангенсу угла наклона прямой с положительным направлением оси ;

3). - уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно нормальному вектору ;

4). - каноническое уравнение прямой, проходящей через точку параллельно направляющему вектору ;

5). - параметрические уравнения прямой;

6). - уравнение прямой, проходящей через две точки ;

7). - уравнение прямой в отрезках на осях, где a и b величины отрезков, отсекаемых прямой на координатных осях;

8). - нормальное уравнение прямой, где - угол, который образует нормальный вектор, направленный из начала координат к прямой, p – расстояние от начала координат до прямой.

Общее уравнение (1) приводится к нормальному виду путём умножения на нормирующий множитель:

.

Если прямая l задана нормальным уравнением, а - некоторая точка плоскости, то выражение: называется отклонением точки от прямой l.

Знак указывает на взаимное расположение точки , прямой l и начала координат. Если точка и начало координат лежат по разные стороны от прямой l, то , а если по одну, то . Расстояние от точки до прямой l находится по формуле:

.

Угол между двумя прямыми.

1). Пусть заданы две прямые:

и

Нормальные векторы прямых имеют координаты:

Угол между прямыми можно найти как угол между нормальными векторами:

.

Условие параллельности двух прямых:

.

Условие перпендикулярности:

т.е. .

2). Если прямые заданы каноническими уравнениями:

и ,

то их направляющие векторы: .

Аналогично с п.1). имеем:

Условие параллельности:

.

Условие перпендикулярности:

.

3). Если две прямые заданы уравнениями с угловыми коэффициентами:

,

тогда угол между прямыми можно вычислить по формуле:

,

при этом угол отсчитывается в направлении от первой прямой ко второй.

Условие параллельности:

.

Условие перпендикулярности:

.

Примеры:

1. Дано общее уравнение прямой: . Напишите различные типы уравнений этой прямой.

а). Уравнение прямой в отрезках;

б). Уравнение прямой с угловым коэффициентом;

в). нормальное уравнение прямой;

.

2. Найти уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору .

Решение: Воспользуемся уравнением

3. Составить уравнение прямой, проходящей через точку и начало координат.

Решение: Уравнение прямой, проходящей через две точки имеет вид:

4. Написать уравнение прямой с направляющим вектором и проходящей через точку

Решение:

5. Найти угол между прямыми и

Решение:

6. Показать, что прямые и перпендикулярны.

Решение:

Найдём скалярное произведение и

, следовательно, прямые перпендикулярны.

7. Даны вершины треугольника . Найти уравнения медианы, высоты, биссектрисы, проведённых из вершины С.

С

А Н М К В

а). медиана СМ

точка М – середина отрезка АВ.

Найдём координаты точки М:

Итак, точка

Найдём уравнение СМ как прямой, проходящей через 2 точки М(3,3) и С(12,-1)

б). высота СН

Так как , то вектор , значит он является нормальным для прямой СН, также известны координаты точки С, через которую проходит прямая СН.

в). биссектриса СК

Воспользуемся следующим свойством биссектрисы: каждая точка биссектрисы угла равноудалена от сторон этого угла.

Возьмём на биссектрисе СК текущую точку . По свойству имеем: . Но и есть расстояния от точки N до АС и ВС соответственно.

C

N

A K B Составим уравнения АС и ВС:

АС:

ВС:

Нормируем эти уравнения:

, следовательно, АС: ,

тогда ;

, следовательно, ВС: ,

тогда .

Так как

Для того, чтобы снять модули в этом соотношении, установим положение начала координат относительно прямых АС и ВС. Так как нормали из точки О в сторону АС и ВС сонаправлены, то соотношение примет вид:

СК: .

8. Составьте уравнения прямых, проходящих через точку и составляющих с прямой угол .

Будем искать уравнение прямой в виде . Так как прямая проходит через точку А, то её координаты удовлетворяют уравнению прямой, т.е. . Угол между прямыми, заданными уравнениями с угловыми коэффициентами можно найти по формуле:

.

Так как угловой коэффициент данной прямой равен , а угол , то

Имеем два значения k:

.

Найдём соответствующие значения b:

Получили две искомые прямые: .

9. Прямая отсекает на координатных осях равные положительные отрезки. Составить уравнение прямой, если площадь треугольника, образованного прямой и осями координат равна 8.

Будем искать уравнение прямой в отрезках

, так как , то

10. При каких значениях параметра t прямые и параллельны?

Прямые, заданные общими уравнениями параллельны, если коэффициенты при x и y пропорциональны, т.е.

11. Найти уравнение общей хорды двух окружностей:

Решение: Найдём точки пересечения окружностей, для этого решим систему уравнений:

Соответственно, .

Теперь получим уравнение общей хорды, зная две точки , через которые проходит эта прямая:

12. Найти расстояние от точки до прямой .

Решение: Нормируем уравнение прямой .

.

Плоскость в пространстве.

Плоскость в пространстве может быть задана одним из следующих уравнений:

1). - общее уравнение плоскости;

2). - уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно нормальному вектору ;

3). - уравнение плоскости в отрезках, - отрезки, отсекаемые плоскостью на осях координат;

4). - уравнение плоскости, проходящей через точки ;

5). - уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно двум неколлинеарным векторам ;

6). - нормальное уравнение плоскости, где - направляющие косинусы нормального вектора , направленного из начала координат к плоскости, - расстояние от начала координат до плоскости.

Общее уравнение приводится к нормальному виду умножением на нормирующий множитель

.

Если плоскость задана нормальным уравнением и точка - некоторая точка пространства, то выражение называется отклонением точки от плоскости .

Расстояние от точки до плоскости определяется равенством

.

Две плоскости и параллельны, если , т.е. и коллинеарны, перпендикулярны, если , т.е. и .

Угол между плоскостями есть угол между нормалями:

.

Прямая в пространстве.

Прямая в пространстве может быть задана:

1). Общими уравнениями

,

что равносильно её заданию как линии пересечения двух плоскостей;

2). Каноническим уравнением

,

прямая проходит через точку параллельно направляющему вектору ;

3). Параметрическими уравнениями

.

Заметим, что направляющий вектор прямой можно найти как векторное произведение нормальных векторов и , т.е.

.

Угол между прямыми есть угол между направляющими векторами

.

Угол между прямой и плоскостью определяется по формуле:

.

Условие параллельности прямой и плоскости:

.

Условие перпендикулярности прямой и плоскости: .

Условие принадлежности двух прямых одной плоскости. Пусть прямые заданы каноническими уравнениями:

и .

Две прямые лежат в одной плоскости, если компланарны векторы , т.е. их смешанное произведение равно 0, т.е.

.

Если , то прямые являются скрещивающимися.

Примеры:

1. Составьте уравнение плоскости, зная что точка служит основанием перпендикуляра, проведённого из начала координат к этой плоскости.

Решение: По условию задачи вектор является нормальным вектором плоскости и точка принадлежит плоскости.

Воспользуемся уравнением:

2. Найти уравнение плоскости, проходящей через две точки: и и перпендикулярной плоскости .

Решение: Вектор нормали к плоскости параллелен искомой плоскости.

Выберем на плоскости текущую точку . Векторы - компланарны. Тогда

3. Составьте уравнение плоскости, проходящей через ось и образующей с плоскостью угол .

Решение: Плоскость, проходящая через ось задаётся уравнением , где А и В одновременно в ноль не обращаются. Пусть , тогда . Обозначим , тогда уравнение плоскости примет вид .

Нормальный вектор данной плоскости , искомой плоскости .

По формуле косинуса угла между двумя плоскостями имеем:

.

Откуда получаем две плоскости:

4. В пучке, определяемом плоскостями и , найти две перпендикулярные плоскости, одна из которых проходит через точку .

Решение: Уравнение пучка плоскостей имеет вид:

или

.

Для того, чтобы выделить из пучка плоскость, проходящую через точку М, подставим координаты этой точки в уравнение пучка

откуда имеем .

Тогда уравнение плоскости, содержащей точку М, найдём, подставив соотношение в уравнение пучка

Так как (иначе , а это противоречит определению пучка), то имеем уравнение: .

Вторая плоскость, принадлежащая пучку, должна быть ей перпендикулярна. Запишем условие ортогональности нормальных векторов:

.

Значит, уравнение второй плоскости имеет вид:

или (в силу того, что )

5. Даны координаты вершин пирамиды

Найти угол между ребром и гранью .

Решение: Найдём вектор нормали к грани , как векторное произведение и .

.

Найдём координаты вектора .

Найдём угол между вектором нормали и :

Искомый угол между вектором и плоскостью равен .

6. Даны плоскость , прямая и точка .

а). Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М и параллельной плоскости .

В качестве вектора нормали к искомой плоскости можно взять - нормаль . Поэтому уравнение плоскости будет иметь вид: .

б). Составить уравнение прямой, проходящей через точку М и параллельной . В качестве направляющего вектора искомой прямой можно взять - направляющий вектор . Тогда уравнение прямой:

в). Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М и перпендикулярной .

В качестве вектора нормали к исходной плоскости можно взять - направляющий вектор и уравнение плоскости будет

г). Составить уравнение прямой, проходящей через точку М и перпендикулярной .

Направляющим вектором искомой прямой можно взять - нормаль . Отсюда получим уравнение прямой

д). Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М и прямую .

Запишем уравнение в параметрической форме: Придав два различных значения, например, найдём две точки прямой.

Точки принадлежат искомой плоскости. Составим уравнение плоскости, проходящей через три точки:

.

е). Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М и перпендикулярной плоскостям и .

В качестве нормального вектора искомой плоскости можно взять векторное произведение и - нормальных векторов и .

.