Преобразование линейных пассивных электрических цепей

Эквивалентное преобразование части пассивной электрической цепи состоит в такой ее замене другой пассивной цепью, при которой остаются неизменными токи и напряжения остальной цепи, не подвергшейся преобразованию. К простейшим преобразованиям относятся замена последовательно и параллельно соединенных потребителей эквивалентным потребителем.

При последовательном соединении роль эквивалентного сопротивления (или сопротивления эквивалентного потребителя) играет сумма сопротивлений всех потребителей (рис. 1.11.).

Преобразование линейных пассивных электрических цепей - student2.ru

Преобразование линейных пассивных электрических цепей - student2.ru или Преобразование линейных пассивных электрических цепей - student2.ru (1.32)

Это следует из II закона Кирхгофа:

Преобразование линейных пассивных электрических цепей - student2.ru (1.33)

При двух последовательно соединенных потребителях:

Преобразование линейных пассивных электрических цепей - student2.ru (1.34)

Преобразование линейных пассивных электрических цепей - student2.ru

При параллельном соединении роль эквивалентной проводимости (или проводимости эквивалентного потребителя) играет сумма проводимостей всех потребителей (рис. 1.12.).

Преобразование линейных пассивных электрических цепей - student2.ru (1.13)

Это следует из I закона Кирхгофа:

Преобразование линейных пассивных электрических цепей - student2.ru

При двух параллельно соединенных потребителях:

Преобразование линейных пассивных электрических цепей - student2.ru (1.14)

Таким образом, для расчета цепей с последовательно включенными потребителями целесообразно их свойства выражать значениями сопротивлений, а для параллельно включенных – значениями проводимостей.

Определение эквивалентного сопротивления при смешанном соединении потребителей выполняется путем постепенного упрощения (сворачивания) исходной цепи.

Пример.

Преобразование линейных пассивных электрических цепей - student2.ru

Параллельное соединение R1 и R2:

Преобразование линейных пассивных электрических цепей - student2.ru

Последовательное соединение R12 и R3: Преобразование линейных пассивных электрических цепей - student2.ru

Последовательное соединение R4 и R5: Преобразование линейных пассивных электрических цепей - student2.ru

Параллельное соединение R123 и R45: Преобразование линейных пассивных электрических цепей - student2.ru

Последовательное соединение Rас и R6: Преобразование линейных пассивных электрических цепей - student2.ru

Таким образом, эквивалентное сопротивление

Преобразование линейных пассивных электрических цепей - student2.ru

Более сложными являются взаимные преобразования потребителей, соединенных звездой или треугольником. К таким преобразованиям следует обращаться в тех случаях, когда в цепи, подлежащей упрощению, нельзя выделить параллельное или последовательное соединения потребителей.

Преобразование линейных пассивных электрических цепей - student2.ru

В узлах a, b, c и треугольник, и звезда на рис. 1.14 соединяются с остальной частью схемы. Преобразование треугольника в звезду должно быть таковым, чтобы при одинаковых значениях потенциалов одноименных точек треугольника и звезды притекающие к этим точкам токи были одинаковы, тогда вся внешняя схема «не заметит» произведенной замены.

Выразим Uab треугольника через параметры потребителей и притекающие к этим узлам токи. Запишем уравнения Кирхгофа для контура и узлов a и b.

Преобразование линейных пассивных электрических цепей - student2.ru

Заменим в первом уравнении токи I3 и I2 на соответствующие выражения:

Преобразование линейных пассивных электрических цепей - student2.ru

По закону Ома напряжение Uab для соединения потребителей треугольником:

Преобразование линейных пассивных электрических цепей - student2.ru (1.15)

Теперь получим выражение для этого же напряжения при соединении потребителей звездой:

Преобразование линейных пассивных электрических цепей - student2.ru (1.16)

Для эквивалентности данных цепей при произвольных значениях токов Ia и Ib необходимо равенство напряжений Uab для соединения потребителей треугольником и звездой. Это возможно только при одинаковых коэффициентах уравнений (1.15) и (1.16), т.е.

Преобразование линейных пассивных электрических цепей - student2.ru (1.17)

Аналогично можно получить выражения для определения Преобразование линейных пассивных электрических цепей - student2.ru :

Преобразование линейных пассивных электрических цепей - student2.ru (1.18)

Таким образом, сопротивление луча звезды равно произведению сопротивлений прилегающих сторон треугольника, деленному на сумму сопротивлений трех сторон треугольника.

Формулы обратного преобразования можно вывести независимо, либо как следствие соотношений (1.17) и (1.18) через проводимости:

Преобразование линейных пассивных электрических цепей - student2.ru (1.19)

или через сопротивления:

Преобразование линейных пассивных электрических цепей - student2.ru (1.20)

Следовательно, сопротивление стороны треугольника равно сумме сопротивлений прилегающих лучей звезды и произведения их, деленного на сопротивление третьего луча.

Наши рекомендации