Бесконечно малые функции в точке. Теоремы о бесконечно малых

1) Функция Бесконечно малые функции в точке. Теоремы о бесконечно малых - student2.ru называется бесконечно малой функцией (б.м.ф.) при Бесконечно малые функции в точке. Теоремы о бесконечно малых - student2.ru (или в точке Бесконечно малые функции в точке. Теоремы о бесконечно малых - student2.ru ), если Бесконечно малые функции в точке. Теоремы о бесконечно малых - student2.ru

2)Теорема 1.Произведение бесконечно малой последовательности на число есть бесконечно малая последовательность.

Доказательство. Пусть Бесконечно малые функции в точке. Теоремы о бесконечно малых - student2.ru – бесконечно малая последовательность. Это означает, что для любого положительного числа Бесконечно малые функции в точке. Теоремы о бесконечно малых - student2.ru существует такой номер N, что для всех номеров Бесконечно малые функции в точке. Теоремы о бесконечно малых - student2.ru выполняется условие Бесконечно малые функции в точке. Теоремы о бесконечно малых - student2.ru , где С – любое действительное число. Тогда Бесконечно малые функции в точке. Теоремы о бесконечно малых - student2.ru <

< Бесконечно малые функции в точке. Теоремы о бесконечно малых - student2.ru , а это и означает, что последовательность Бесконечно малые функции в точке. Теоремы о бесконечно малых - student2.ru – бесконечно малая.

Теорема 2.Сумма двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Доказательство. Пусть Бесконечно малые функции в точке. Теоремы о бесконечно малых - student2.ru и Бесконечно малые функции в точке. Теоремы о бесконечно малых - student2.ru – бесконечно малые последовательности. Это означает, что для любого числа Бесконечно малые функции в точке. Теоремы о бесконечно малых - student2.ru существуют такие номера Бесконечно малые функции в точке. Теоремы о бесконечно малых - student2.ru и Бесконечно малые функции в точке. Теоремы о бесконечно малых - student2.ru , что для всех номеров Бесконечно малые функции в точке. Теоремы о бесконечно малых - student2.ru и для всех номеров Бесконечно малые функции в точке. Теоремы о бесконечно малых - student2.ru выполняются условия Бесконечно малые функции в точке. Теоремы о бесконечно малых - student2.ru и Бесконечно малые функции в точке. Теоремы о бесконечно малых - student2.ru соответственно. Тогда для всех номеров Бесконечно малые функции в точке. Теоремы о бесконечно малых - student2.ru выполняется условие Бесконечно малые функции в точке. Теоремы о бесконечно малых - student2.ru Бесконечно малые функции в точке. Теоремы о бесконечно малых - student2.ru , а это и означает, что последовательность Бесконечно малые функции в точке. Теоремы о бесконечно малых - student2.ru – бесконечно малая.

Следствие 1. Разность двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Следствие 2. Алгебраическая сумма любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Теорема 3. Бесконечно малая последовательность ограничена.

Доказательство.Пусть Бесконечно малые функции в точке. Теоремы о бесконечно малых - student2.ru – бесконечно малая последовательность, ε>0 – некоторое число, а N – номер, начиная с которого выполняется условие Бесконечно малые функции в точке. Теоремы о бесконечно малых - student2.ru . Обозначим через М наибольшее из следующих чисел Бесконечно малые функции в точке. Теоремы о бесконечно малых - student2.ru . Очевидно, что Бесконечно малые функции в точке. Теоремы о бесконечно малых - student2.ru для любого номера n, а это и означает, что последовательность { Бесконечно малые функции в точке. Теоремы о бесконечно малых - student2.ru } – ограничена.

Теорема 4. Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую последовательность есть бесконечно малая последовательность.

Доказательство. Пусть Бесконечно малые функции в точке. Теоремы о бесконечно малых - student2.ru – ограниченная, а Бесконечно малые функции в точке. Теоремы о бесконечно малых - student2.ru – бесконечно малая последовательности. Это означает, что существует число М>0 такое, что для любого номера n выполняется Бесконечно малые функции в точке. Теоремы о бесконечно малых - student2.ru , и для любого числа Бесконечно малые функции в точке. Теоремы о бесконечно малых - student2.ru существует номер N такой, что для всех номеров Бесконечно малые функции в точке. Теоремы о бесконечно малых - student2.ru выполняется Бесконечно малые функции в точке. Теоремы о бесконечно малых - student2.ru . Тогда для всех номеров Бесконечно малые функции в точке. Теоремы о бесконечно малых - student2.ru и любого ε>0 выполняется Бесконечно малые функции в точке. Теоремы о бесконечно малых - student2.ru , а это и означает, что последовательность Бесконечно малые функции в точке. Теоремы о бесконечно малых - student2.ru – бесконечно малая.

Следствие. Произведение любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Теорема 5. Если элементы бесконечно малой последовательности Бесконечно малые функции в точке. Теоремы о бесконечно малых - student2.ru равны одному и тому же числу С, то С=0.

Доказательство. Предположим, что Бесконечно малые функции в точке. Теоремы о бесконечно малых - student2.ru . Для Бесконечно малые функции в точке. Теоремы о бесконечно малых - student2.ru существует такой номер N, что для всех номеров Бесконечно малые функции в точке. Теоремы о бесконечно малых - student2.ru выполняется Бесконечно малые функции в точке. Теоремы о бесконечно малых - student2.ru . Так как Бесконечно малые функции в точке. Теоремы о бесконечно малых - student2.ru , а Бесконечно малые функции в точке. Теоремы о бесконечно малых - student2.ru , то последнее неравенство имеет вид Бесконечно малые функции в точке. Теоремы о бесконечно малых - student2.ru , откуда Бесконечно малые функции в точке. Теоремы о бесконечно малых - student2.ru . Полученное противоречие показывает, что предположение Бесконечно малые функции в точке. Теоремы о бесконечно малых - student2.ru неверно, следовательно, Бесконечно малые функции в точке. Теоремы о бесконечно малых - student2.ru .

Теорема 6. Если Бесконечно малые функции в точке. Теоремы о бесконечно малых - student2.ru – бесконечно большая последовательность то, начиная с некоторого номера n, определена последовательность Бесконечно малые функции в точке. Теоремы о бесконечно малых - student2.ru , которая является бесконечно малой. Если не все элементы бесконечно малой последовательности Бесконечно малые функции в точке. Теоремы о бесконечно малых - student2.ru равны нулю, то последовательность Бесконечно малые функции в точке. Теоремы о бесконечно малых - student2.ru бесконечно большая.

Доказательство. Пусть Бесконечно малые функции в точке. Теоремы о бесконечно малых - student2.ru – бесконечно большая последовательность. Это означает, что для любого положительного числа М можно указать такой номер N, что для всех номеров Бесконечно малые функции в точке. Теоремы о бесконечно малых - student2.ru выполняется Бесконечно малые функции в точке. Теоремы о бесконечно малых - student2.ru . А это означает, что при Бесконечно малые функции в точке. Теоремы о бесконечно малых - student2.ru все элементы Бесконечно малые функции в точке. Теоремы о бесконечно малых - student2.ru , а поэтому последовательность Бесконечно малые функции в точке. Теоремы о бесконечно малых - student2.ru имеет смысл с номера N. Пусть Бесконечно малые функции в точке. Теоремы о бесконечно малых - student2.ru - любое положительное число. Для числа Бесконечно малые функции в точке. Теоремы о бесконечно малых - student2.ru можно указать номер Бесконечно малые функции в точке. Теоремы о бесконечно малых - student2.ru такой, что для n Бесконечно малые функции в точке. Теоремы о бесконечно малых - student2.ru N выполняется Бесконечно малые функции в точке. Теоремы о бесконечно малых - student2.ru . Это и означает, что Бесконечно малые функции в точке. Теоремы о бесконечно малых - student2.ru – бесконечно малая. Доказательство второй части теоремы проводится аналогично.

Рассмотрим теперь лемму, которая будет использоваться при доказательстве некоторых теорем.

Лемма. Для того чтобы число а являлось пределом последовательности Бесконечно малые функции в точке. Теоремы о бесконечно малых - student2.ru , необходимо и достаточно, чтобы Бесконечно малые функции в точке. Теоремы о бесконечно малых - student2.ru имел вид Бесконечно малые функции в точке. Теоремы о бесконечно малых - student2.ru , n=1,2,…, где Бесконечно малые функции в точке. Теоремы о бесконечно малых - student2.ru есть бесконечно малая последовательность.

Доказательство. Обозначим Бесконечно малые функции в точке. Теоремы о бесконечно малых - student2.ru . Условие Бесконечно малые функции в точке. Теоремы о бесконечно малых - student2.ru по определению предела равносильно тому, что для любого числа Бесконечно малые функции в точке. Теоремы о бесконечно малых - student2.ru существует такой номер N, что для всех номеров Бесконечно малые функции в точке. Теоремы о бесконечно малых - student2.ru выполняется неравенство Бесконечно малые функции в точке. Теоремы о бесконечно малых - student2.ru , то есть Бесконечно малые функции в точке. Теоремы о бесконечно малых - student2.ru , а это и равносильно тому, что Бесконечно малые функции в точке. Теоремы о бесконечно малых - student2.ru .

Эта лемма показывает особую роль бесконечно малых последовательностей при изучении предела последовательности. Перейдем теперь непосредственно к рассмотрению простейших свойств пределов числовых последовательностей.

Наши рекомендации