Аксіоми додавання і множення

Для будь-якої пари та дійсних чисел однозначно виражене число , яке називається їх сумою.

Для будь-якої пари і дійсних чисел однозначно виражене число , яке називається їх добутком.

Для будь-яких дійсних чисел a, b, c виконуються наступні аксіоми:

Існує єдине число 0, таке, що для будь-якого числа .

Для будь-якого числа існує таке число , що (число називається протилежним числу ).

Існує єдине число 1, таке, що для будь-якого числа .

Для будь-якого числа існує таке число , що ; число позначається також символом і називається оберненим до .

Аксіоми порівняння дійсних чисел

Для будь-яких дійсних чисел a, b установлене одне із співвідношень:

Відношення "=" має властивість: якщо і , то .

Для будь-яких дійсних чисел a, b, c виконуються наступні аксіоми:

Якщо і , то .

Якщо , то .

Якщо і , то .

Зауваження. Замість пишуть

Аксіома неперервності дійсних чисел

Нехай і - дві множини, які складаються із дійсних чисел. Тоді, якщо , виконується нерівність , то існує принаймні одне дійсне число , для якого виконується нерівність .

Зауваження. У множині лише раціональних чисел аксіома неперервності не виконується. Дійсно, нехай складається із множини раціональних чисел, таких, що , а − із множини раціональних чисел . Тоді виконується нерівність . Проте не існує раціонального числа , такого, щоб виконувалася б нерівність . Таким числом могло бути лише число , а воно, як відомо, ірраціональне.

Деякі властивості дійсних чисел

Наведемо деякі властивості дійсних чисел.

1. Число є розв'язком рівняння .

Доведення. Підставимо в дане рівняння замість його значення:

.

Згідно з

Згідно з

Згідно з

Згідно з

Зауваження. Число називається різницею чисел та і позначається . Зазначимо, що за умови різниця . Дійсно, якщо , то за Одержуємо , далі за Маємо , тобто .

2. Число є розв'язком рівняння , якщо .

Доведення. Підставимо в дане рівняння значення :

.

Згідно з .

Згідно з .

Згідно з .

Згідно з .

Зауваження. Число називається часткою чисел й і позначається або .

3. Якщо , то .

Дійсно, оскільки , то . Отже, за , звідки одержуємо .

Зокрема, якщо , то , а якщо , то .

Дійсно, згідно з , далі за . Отже,

0= − 0.

4. Якщо і , то .

Дійсно, якщо і , то за , . Далі згідно з .

5. Якщо та , то .

Дійсно, якщо , то згідно з і за 4 одержуємо: .

6. .

Це випливає з того, що .

7. .

Справді, .

8. .

Дана рівність доводиться так: .

9. .

Доведення:

Зокрема, .

10. Якщо і , то .

Дійсно, оскільки , то , а тому (згідно з ). Отже, , а звідси .

11. Якщо та , то .

Справді, оскільки , то , а тому (згідно з ). Отже, , а звідси маємо .

12. Якщо , то .

Це випливає з і 11.

За властивістю маємо: , тобто .

Надалі будемо використовувати й інші властивості дійсних чисел, не спиняючись на їх формальному доведенні.