Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд

Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru

Решение

Составим ряд из абсолютных величин членов данного ряда: Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru . Исследуем его на сходимость.

Сравним данный ряд с гармоническим рядом Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru .

Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru , Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru .

Найдем Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru .

Предел конечный и отличный от нуля.

Так как гармонический ряд расходится, то расходится и ряд Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru согласно признака сравнения. Следовательно данный ряд не является абсолютно сходящимся.

Применим к данному знакочередующемуся ряду признак Лейбница.

Найдем разность Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru

Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru ;

Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru ,

так как Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru при любом Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru , Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru при любом Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru и Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru при любом Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru .

Первое условие Лейбница выполнено: Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru . Проверим второе условие признака Лейбница: Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru . Значит данный ряд сходится.

Причем он является условно сходящимся.

5. Найти область сходимости степенного ряда:

Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru

Решение

Найдем интервал сходимости ряда и исследуем поведение ряда на концах интервала сходимости. Применим к ряду из модулей признак Даламбера, при фиксированном x:

Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru ; Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru

Найдем предел Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru

Если Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru , то Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru , Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru , Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru .

Интервалом сходимости является интервал Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru .

Исследуем поведение ряда на концах интервала Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru .

При Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru имеем ряд Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru .

Этот ряд расходится.

При х=9 получаем ряд Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru

Применим к данному ряду признак Лейбница.

Очевидно выполнение обоих условий: Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru , Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru .

Ряд Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru сходится условно, так как ряд из абсолютных величин Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru расходится.

Следовательно, областью сходимости ряда является промежуток Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru .

6. Найти разложение функции в степенной ряд по степеням x:

Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru .

Решение

Используем разложение функции Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru :

Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru

Заменяя в этой формуле Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru на Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru , получаем Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru

Полученный ряд сходится при всех Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru , т.е. при Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru

Разложение Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru имеет вид:

Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru

7. Используя разложение подынтегральной функции в степенной ряд, вычислить определенные интегралы с указанной погрешностью Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru :

Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru , Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru

Решение

Применим ряд для Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru :

Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru

Заменим Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru на Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru :

Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru

Разделив почленно ряд для Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru на Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru , получим

Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru

Интегрируя этот ряд почленно (это возможно, так как пределы интегрирования принадлежат интервалу сходимости данного ряда), получим

Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru

Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru

Поскольку этот ряд удовлетворяет признаку Лейбница:

1. Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru , 2. Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru , то погрешность при замене суммы такого ряда суммой его первых Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru членов не превышает модуля первого отброшенного члена.

Ограничиваясь первыми двумя членами этого ряда, находим

Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru

8. найти разложение в степенной ряд по степеням Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru решения дифференциального уравнения (записать три первых, отличных от нуля, члена этого разложения)

Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru , Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru .

Решение

Искомое решение запишем в виде ряда Моклорена

Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru

Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru

Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru

……………………… Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru

Подставляя найденные значения производных в ряд, получим искомое решение дифференциального уравнения.

Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru - искомое решение.

Литература

1. Пискунов Н.С. «Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов», М., 1960.

2. Шнейдер В.Е., Слуцкий А.И., Шумов А.С. «Краткий курс высшей математики 1, 2», М. 1978.

3. «Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов». Под редакцией Б.П. Демидовича. М., 1960.

Содержание

Вопросы учебной программы третьего семестра ………………………………………….3

Основные формулы и теоремы………………………………………………………………..4

Типовые задания…………………………………………………………………………………7

Задания к аттестационной работе №3 по теме: «Кратные и криволинейные интегралы»…………………………………………………………………………………………8

Решение типового варианта……………………………………………………………………17

Задания к аттестационной работе №3 по теме: Ряды.……………………………………22

Решение типового варианта……………………………………………………………………33

Учебное издание

Составители: Пархимович Игорь Владимирович

Гоголинская Рената Альфонсовна

Остапчук Евгений Матвеевич

Наши рекомендации