Визначники матриці

Поняття визначника (детермінанта) виникло у зв'язку з рішенням систем лінійних рівнянь і завдяки цьому ця задача одержала компактне вираження, наприклад, у вигляді правила Крамера (2.1.9.). Представлення таких систем у матричній формі природним образом зв'язує квадратну матрицю з її визначником (чи ). Загальне вираження для визначника матриці n-го порядку звичайно дається у вигляді:

У правій частині стоїть сума добутків виду Кожен такий добуток за визначенням повинен містити елементи матриці , розташовані в різних рядках і різних стовпцях. Це означає, що серед усіх перших індексів, як і серед усіх других індексів не повинне бути однакових. Якщо розташувати перші індекси в порядку їхнього зростання, як це зроблено вище, то сукупність других індексів утворить деяку перестановку множини чисел від 1 до n. Інакше кажучи, кожен добуток під знаком суми визначається підстановкою n-го ступеня:

Число всіх підстановок n-го ступеня дорівнює n!, тому можна утворити таку ж кількість добутків з елементів даної матриці (при нульових елементах деякі з них дорівнюють нулю). Визначник дорівнює сумі всіх таких добутків, узятих зі знаком (—1)^e, де e — число інверсій перестановки . Замість множника (—1)^e можна писати знак підстановки sgns, що позитивний для парної і негативний для непарної підстановки s.

Порядок визначника збігається з порядком його матриці. Елементи матриці А називають також елементами визначника , а добутку (—1)^e — членами визначника.

Для визначників другого і третього порядку одержуємо вираз, що збігається з добре відомими схемами обчислення цих визначників:

Як видно, індекси стовпців усіх членів визначника третього порядку визначаються перестановками (1,2,3), (2,3,1), (3,1,2), (3,2,1), (1,3,2), (2,1,3), число інверсій яких дорівнює відповідно 0, 2, 2, 3, 1, 1.

Загальне вираження визначника n-го порядку є зручним для дослідження і доказу його властивостей, але для обчислення визначників використовуються інші більш практичні співвідношення і методи.