Ранг матриці

Означення 1. Визначник, складений із елементів матриці ранг матриці - student2.ru розміру ранг матриці - student2.ru , які знаходяться на перетині довільних її ранг матриці - student2.ru рядків і ранг матриці - student2.ru стовпців, називається мінором ранг матриці - student2.ru -того порядку даної матриці.

Для даної матриці можна складати мінори різних порядків, починаючи від 1 (визначник першого порядку приймається рівним своєму єдиному елементу) до меншого із чисел ранг матриці - student2.ru або ранг матриці - student2.ru . Так для матриці

ранг матриці - student2.ru .

Можна скласти 12 мінорів першого порядку (самі елементи), 18 мінорів другого порядку і 4 мінори третього порядку. Випишемо мінори 3-го порядку, знайшовши їх значення (останнє пропонуємо перевірити самостійно)

ранг матриці - student2.ru

Серед мінорів другого порядку можуть бути нульові і відмінні від нуля. (Всі їх ми виписувати не будемо).

Наприклад, ранг матриці - student2.ru

Означення 2. Найвищий порядок мінора матриці ранг матриці - student2.ru , відмінного від нуля, називається рангомцієї матриці і позначається ранг матриці - student2.ru .

Із означення випливає, що якщо ранг матриці ранг матриці - student2.ru ранг матриці - student2.ru , то серед мінорів ранг матриці - student2.ru -того порядку є відмінні від нуля мінори, а всі мінори ранг матриці - student2.ru -го порядку дорівнюють нулю.

Якщо ж матриця нульова, то її ранг дорівнює нулю. Якщо матриця квадратна і невироджена, то її ранг дорівнює порядку матриці. Таким чином, для кожної матриці ранг матриці - student2.ru розміру ранг матриці - student2.ru її ранг приймає відповідне значення ранг матриці - student2.ru , яке знаходиться в межах

ранг матриці - student2.ru

В наведеному вище прикладі матриці ми бачили, що найвищий порядок її мінора, відмінного від нуля, дорівнює 2, ранг матриці - student2.ru =2.

Знаходження ранга матриці шляхом перебору значень всіх її можливих мінорів пов’язано із значним обсягом обчислень, особливо коли розмір матриці великий. Тому існує простіший спосіб знаходження рангу, заснований на елементарних перетвореннях.

До елементарних перетворень матриці відносяться:

1) транспонування матриці;

2)множення елементів рядка (стовпця) матриці на число відмінне від нуля;

3)перестановка місцями двох рядків (стовпців);

4)додавання до елементів одного рядка (стовпця) відповідних елементів другого рядка (стовпця) помножених на одне й те ж саме число.

Теорема. При елементарних перетвореннях ранг матриці не змінюється.

Означення 3. Дві матриці ранг матриці - student2.ru і ранг матриці - student2.ru називаються еквівалентними (позначається ранг матриці - student2.ru ~ ранг матриці - student2.ru ), якщо одна з них може бути отримана з іншої за допомогою скінченого числа елементарних перетворень.

Ранги еквівалентних матриць рівні,

ранг матриці - student2.ru ~ ранг матриці - student2.ru ранг матриці - student2.ru .

Приклад 1. Знайти ранг матриці

ранг матриці - student2.ru .

Розв’язання. Із другого рядка матриці ранг матриці - student2.ru віднімемо перший і переставимо їх місцями:

ранг матриці - student2.ru ~ ранг матриці - student2.ru ~ ранг матриці - student2.ru .

Додамо до ІІ-го і ІІІ-го рядків перший, відповідно помножений на –2 і –4, а тоді поміняємо місцями ІІ-ий і ІІІ-ій стовпці, отримаємо:

ранг матриці - student2.ru ~ ранг матриці - student2.ru ~ ранг матриці - student2.ru .

Помножимо ІІ-ий рядок на –10 і додамо з ІІІ-м рядком:

ранг матриці - student2.ru ~ ранг матриці - student2.ru ранг матриці - student2.ru .

Матриця ранг матриці - student2.ru є трапецієподібною. Вона отримана з ранг матриці - student2.ru за допомогою скінченого числа елементарних перетворень, її ранг дорівнює 3.

Таким чином,

ранг матриці - student2.ru .

Зауважимо, що ранг матриці можна знаходити, якщо скористатись правилом прямокутника (див. 1.1), яке по суті відповідає послідовному застосуванню елементарних перетворень матриць 1) - 4).

Приклад 2.Знайти ранг матриці

ранг матриці - student2.ru

Помножимо ІІІ-ій рядок на (-1) і переставимо його з ІІ-м, провідним елементом виберемо ранг матриці - student2.ru

ранг матриці - student2.ru

ранг матриці - student2.ru .

Очевидно що ранг останньої, а значить, і еквівалентної їй початкової матриці А дорівнює 3, тобто ранг матриці - student2.ru .

Зауваження. При знаходжені рангу матриці великого розміру раціональніше використовувати ЕОМ, застосовуючи відносно простий алгоритм правила прямокутників.

Наши рекомендации