Обзор методов моделирования

Среди способов моделирования непрерывных систем управления электроприводом можно выделить два, основанных на использовании математических моделей систем в виде моделей состояния и структурных моделей, каждый из которых имеет свои определенные преимущества при решении конкретных задач моделирования АСУ ЭП. Наиболее удобно использовать модель состояния при моделировании и синтезе многомерных линейных систем управления ЭП методами пространств состояний. При моделировании нелинейных систем ЭП, а также некоторых специфических элементов современных систем ЭП, например тиристорных преобразователей и микропроцессоров, более эффективным является использование структурных моделей. Особенно удобно их применять при анализе в связи с выраженной структурой реальных систем электропривода. Однако эффективность использования структурных (топологических) методов существенно снижается по мере усложнения систем управления ЭП. Поэтому выбор способа моделирования обуславливается целесообразностью его применения в конкретном случае.

Цифровое моделирование непрерывных систем управления основывается на описании системы обыкновенными дифференциальными уравнениями в форме Коши, где в общем случае для многомерного элемента каждая входная переменная связана с каждой выходной переменной. Если взаимосвязи по всем каналам линейны или линеаризованы, то в общем случае многомерный элемент можно описать системой неоднородных дифференциальных уравнений. Систему можно записать более компактно в виде одного векторного дифференциального уравнения. Векторное дифференциальное уравнение в форме Коши, отражающее динамические свойства многомерного линейного объекта, является уравнением состояния и используется в качестве математической модели при моделировании методами пространств состояний. Полная математическая модель линейного многомерного объекта, кроме уравнений состояния, содержит еще уравнение выхода, связывающее переменные состояния и управляющие воздействия с выходными переменными.

Решить описанные выше уравнения можно различными методами, которые можно классифицировать на две группы: методы численного интегрирования дифференциальных уравнений и матричные методы, основанные на расчете переходной матрицы состояния.

К методам численного интегрирования относятся давно известные и опробованные методы: Эйлера, Рунге-Кутта, Адамса-Бэшфорта, Адамса-Мултона и др. Анализируя известные результаты, можно заключить, что наряду с признанными точными методами численного интегрирования высокого порядка, например методами Рунге-Кутта четвертого порядка, Кутта-Мерсона четвертого порядка, целесообразно использовать при разработке нестандартных методик цифрового моделирования АСУ ЭП менее точные численные методы, например Эйлера второго порядка и Адамса-Бэшфорта, применяя которые, можно обеспечить достаточную точность моделирования при соответствующем шаге интегрирования. При решении задач в реальном времени целесообразно для численного интегрирования применять экономичный как по емкости памяти, так и по времени решения метод Эйлера первого порядка. Особую актуальность это приобретает в микропроцессорных системах управления ЭП.

Матричные методы расчета переходного процесса в линейных системах основаны на расчете переходной (экспоненциальной) матрицы состояния, что связано с необходимостью выполнения сложных и громоздких расчетов, и особенно затруднены при отсутствии специализированных прикладных пакетов программ (наиболее известным пакетом символьной математики, ориентированным на работу с векторами и матрицами, следует признать MatLab). Способы вычисления переходной матрицы состояния можно классифицировать следующим образом: прямые, основанные на методике Планта, аппроксимации Паде, теоремы Кели-Гамильтона. Все перечисленные методы вычисления переходной матрицы состояния используют рекуррентный алгоритм ее расчета. Переходная матрица состояния представляется разложением в матричный ряд. Для обеспечения работоспособности алгоритма вычисления переходной матрицы необходимо установить максимальное число членов ряда, при превышении которого вычисления прекращаются. Следует отметить, что при числе членов ряда к=2 точность вычисления переходной матрицы состояния соответствует точности метода Эйлера, при к=3 - точности усовершенствованного метода Эйлера, при к=5 - точности метода Рунге-Кутта. Очевидно, что затраты на вычисления значительно выше по сравнению с методами численного интегрирования. Кроме выполнения расчетов для переходной матрицы состояния, необходимо выполнить вычисление входной матрицы, при котором используются в основном два метода: аналитический, когда заранее известно, что переходный процесс имеет устойчивый характер; приближенный, когда характер переходного процесса заранее не определен. Использование и того и другого метода связано с громоздкими матричными операциями. Но следует отметить, что матричный метод имеет свои преимущества перед остальными методами при моделировании многомерных систем управления, имеющих несколько входов и выходов.

Цифровое моделирование непрерывных систем управления на основе топологических представлений (структурное моделирование) позволяет максимально использовать информацию о структуре исследуемой системы, здесь каждому типовому звену соответствует определенная модель, которая, в свою очередь, может быть реализована на основе двух типовых звеньев.

Таким образом, выбор способа моделирования непрерывных систем управления ЭП, а также методов расчета переходных процессов определяется эффективностью использования при решении конкретной задачи.

При моделировании дискретных систем управления ЭП необходимо решать задачу построения алгоритмов цифрового моделирования совместной работы цифровых и аналоговых элементов системы, которая имеет некоторые специфические особенности. Одна из них - это большие затраты машинного времени на совместное воспроизведение динамических свойств цифровой и аналоговой частей исследуемой системы, связанные с необходимостью многократного решения дифференциальных уравнений аналоговой части за один такт работы цифровой части. Другой важной особенностью является специфический математический аппарат расчета цифровых систем управления, использующий z-преобразование.

Результаты изучения переходных процессов в физических системах на основе методов, в которых непрерывные сигналы при расчете заменяются временными последовательностями чисел, показывают, что такой подход дает значительную экономию вычислительных затрат. Соотношения между временными последовательностями действительных чисел (решетчатыми функциями) описываются удобными рекуррентными разностными уравнениями, коэффициенты которых зависят от параметров физических систем. Некоторые рекуррентные методы, в частности метод Тастина, позволяют получать эффективные алгоритмы цифрового моделирования дискретных систем. Сущность известных в настоящее время рекуррентных разностных методов и состоит в замене процессов, происходящих в непрерывных системах, процессами в эквивалентных дискретных системах. Математическим аппаратом при этом служит метод z-преобразований. Рассмотренные методы Тастина, Боксера-Талера построения цифровых моделирующих алгоритмов систем управления, заданных в виде структурных схем, имеют очень мало ограничений или вообще не имеют. Они являются универсальными в смысле использования при входных сигналах аналитической или произвольной формы. Порядок рекуррентных уравнений совпадает с порядком линейной части моделируемой системы независимо от используемого метода. Не требуется дополнительных усилий при проведении подготовительной работы. Однако точность этих методов принципиально не так высока, как методов использующих информацию о всей непрерывной системе в целом (методы инвариантных импульсных функций, Цыпкина-Гольденберга, Рагаццини-Бергена).