Численные методы решения нелинейных уравнений
Основные этапы решения нелинейных алгебраических уравнений. Локализация корней. Графический метод отделения корней. Пошаговый и метод дихотомии (бисекции) отделения корней.
Решение нелинейных уравнений методом Ньютона (касательных); геометрическая интерпретация метода. Решение нелинейных уравнений методом простых итераций; геометрическая интерпретация метода. Типы сходимостей итерационных последовательностей. Анализ сходимости итерационных процессов методов Ньютона и простых итераций.
Численные методы вычисления определенных интегралов.
Общие понятия теории численного вычисления определенных интегралов. Классификация методов вычисления определенных интегралов.
Квадратурные формулы интерполяционного типа. Общая схема методов Ньютона-Котеса. Неустойчивость. Алгебраическая точность.
Формулы численного интегрирования – прямоугольников, трапеций, Симпсона с выводом и оценкой точности. Локальные погрешности и погрешности составных квадратурных формул. Практические примеры вычислений.
Априорная и апостериорная оценки погрешностей. Формулы Рунге и Эйткина.
Методы наивысшей алгебраической точности (методы Гаусса-Кристоффеля). Свойства полиномов Лежандра. Вывод систем уравнений для определения узлов и весов квадратур Гаусса. Ортогональные многочлены. Примеры построения формул Гаусса-Кристоффеля для различных весовых функций.
Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ).
Постановка задачи для интегрирования ОДУ. Типы задач для ОДУ. Основные понятия и определения. Задача Коши (задача с начальными условиями). Условие Липшица. Единственность решения.
Одношаговые методы решения ОДУ. Определение одношаговых методов. Явные и неявные схемы. Метод Эйлера (простой и усовершенствованный). Определение порядка метода. Общая схема методов Рунге-Кутта. Практические способы оценки погрешности.
Основы статистического моделирования.
Общая постановка задачи статистического моделирования.
Моделирование дискретной случайной величины с заданной вероятностью. Моделирование дискретных случайных величин, равномерно распределенных в произвольном интервале.
Моделирование дискретной случайной величины, имеющей распределение Пуассона.
Моделирование непрерывной случайной величины, имеющей экспоненциальное распределение.
Моделирование непрерывной случайной величины, имеющей нормальное распределение.
Построение гистограмм различных распределений.
Понятие случайного процесса, алгоритмы моделирования реализаций случайного процесса.
Работа в инструментальной системе MathCAD.
Интерфейс и входной язык MathCAD. Обзор основных возможностей. Использование пакета для решения физических задач.
Задачи линейной алгебры.
Основные задачи вычислительной линейной алгебры. Прямые и итерационные методы решения задач линейной алгебры.
Метод Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) и его модификации. Вывод алгоритма метода исключений. Эквивалентность LU-разложения и метода Гаусса. Сравнение эффективности различных прямых методов решения СЛАУ. Вычисление определителей. Процедуры обращения матриц.
Метод прогонки для решения трехдиагональных СЛАУ.
Понятие нормы вектора и нормы матрицы. Подчиненные и согласованные нормы. Обусловленность матрицы коэффициентов СЛАУ. Оценка абсолютной и относительной погрешности решения. Примеры плохо обусловленных матриц.
Контроль точности и уточнение приближенного решения СЛАУ. Понятие невязки.
Итерационные методы решения СЛАУ. Достаточное условие сходимости и приведение систем к виду, удобному для итераций. Необходимое и достаточное условие сходимости. Апостериорная оценка погрешности. Методы Якоби и Зейделя. Достаточное условие сходимости методов Якоби и Зейделя. Матричная запись итерационных методов. Каноническая форма одношаговых итерационных методов. Стационарные и нестационарные методы.
Вычисление собственных значений матрицы.