Задача № 7. Расчёт разветвленной электрической цепи однофазного синусоидального тока

К зажимам электрической цепи подключен источник синусоидального напряжения и(t)=U_m sin(ωt + φ_о) В, частотой f=50 Гц. Амплитуда, начальная фаза напряжения и параметры элементов цепи заданы в таблице. Схема замещения приведена на схеме.

Числовые параметры схем однофазных электрических цепей переменного тока:

№ вари- анта	Um, В	φо, град	R1, Ом	R2, Ом	L1, мГн	L2, мГн	C1, мкФ	C1, мкФ
					127,2	190,8	39,8	53,0

Выполнить следующее:

1) определить реактивные сопротивления элементов цепи;

2) определить действующее значение токов во всех ветвях цепи;

3) записать уравнение мгновенного значения тока источника;

4) составить баланс активных и реактивных мощностей;

5) построить векторную диаграмму токов, совмещённую с топографической векторной диаграммой напряжений.

Решение:

Находим реактивные сопротивления элементов цепи:

ω = 2πf;

X_L1 = ωL₁ = 2∙3,14∙50∙0,1272 = 39,941 Ом;

X_L2 = ωL₂ = 2∙3,14∙50∙0,1908 = 59,911 Ом;

Ом;

Ом;

Расчёт токов в ветвях цепи выполняем методом эквивалентных преобразований. Представим приведённую схему в следующем виде.

Находим комплексные сопротивления ветвей, затем участков цепи и всей цепи:

= – j∙X_С1 = – j∙80,018 = 80,018∙e ^–j∙90 Ом;

= R₁ + j∙X_L1 = 40 + j∙39,941 = 56,53∙e ^j∙44,96 Ом;

= R₂ + j(X_L2 – X_C2 )= 60 + j∙(59,911 – 60,089) = 60 – j∙0,178 = 60∙e ^{– j∙0,17} Ом;

Рассчитаем эквивалентное сопротивление цепи, упростив её методом сворачивания:

Ом.

Выразим действующее значение напряжений в комплексной форме:

B;

Вычисляем общий ток цепи, после чего определяем каждый ток ветви:

А;

B;

A;

А;

Запишем уравнение мгновенного тока источника:

i = I_msin(ωt+φ_i), где I_m – амплитуда (модуль тока, умноженный на ),

φ_i – начальная фаза (аргумент тока).

i = 3,074∙ sin(314t + 156,8°) = 4,347∙sin(314t + 156,8°) A;

Рассчитаем комплексные мощности цепи:

ВА,

из чего следует, что P_ист = 274,01 Вт; Q_ист. = –639,32 вар;

Теперь определим активную и реактивную мощности приёмников:

Вт;

Сравниваем значения:

274,01 ≈ 274,005 Р_и ≈ Р_пр

–639,32 ≈ –640 Q_и ≈ Q_пр

Разница в результате несущественная, а это значит, что баланс сошёлся, так как левая и правая части уравнений должны быть равны. Следовательно, расчёты произведены верно.

Находим напряжения на элементах схемы замещения цепи, а также длину векторов этих напряжений при масштабах и :

U_AB = I₁X_C1 =3,074∙80,018=245,975В,

см,

U_BC = I₂R₁ = 1,714∙40 = 68,56 В,

см,

U_CF = I₂X_L1 = 1,714∙39,941=68,459 В,

см,

U_BD = I₃X_C2 = 1,615∙60,089=97,044 В,

см,

U_DK = I₃R₂ =1,615∙60 = 96,9 В,

см,

U_KF = I₃X_L2 = 1,615∙59,911 = 96,756 В,

см,

см,

см,

см,

Строим топографическую диаграмму на комплексной плоскости.

На комплексной плоскости в масштабе откладываем векторы токов в соответствии с расчётными значениями, при этом положительные фазовые углы отсчитываем от оси (+1) против часовой стрелки, а отрицательные – по часовой стрелке. Так, например, вектор тока A повёрнут против часовой стрелки относительно оси (+1) на угол 156,8^◦ и в длину равен l₂.

Топографическая диаграмма напряжений характерна тем, что каждой точке диаграммы соответствует определённая точка электрической цепи. Построение векторов напряжений ведем, соблюдая порядок расположения элементов цепи и ориентируя векторы напряжений относительно векторов тока следующим образом:

– на активном сопротивлении ток и напряжение совпадают по фазе;

– на индуктивном элементе напряжение опережает ток на 90°;

– на ёмкости напряжение отстаёт от тока на 90°.

Направление обхода участков цепи выбираем по положительному направлению токов. Обход начинаем от точки А, потенциал которой принимаем за исходный φ_А = 0. Точку А помещаем в начало координат комплексной плоскости. При переходе от точки А к точке B потенциал изменяется на величину падения напряжения на сопротивлении. Вектор этого напряжения U_AB откладываем от точки A под углом –90^˚ от вектора тока I. Конец вектора U_AB определяет потенциал точки B. Вектор U_BC совпадает по фазе c вектором тока I₂. От конца вектора U_BC откладываем вектор U_CF под углом 90^˚ от вектора тока I₂. Аналогично строим векторы напряжений других участков цепи.

На основании 2-го закона Кирхгофа в векторном виде _, поэтому, соединив прямой точки F и A, получим вектор напряжения на зажимах цепи. Измерим его длину и по масштабу определим величину напряжения:

В;

Задача 8. Расчёт трёхфазных линейных электрических цепей переменного тока.

В соответствии с данными начертить схему соединения сопротивлений в трёхфазной цепи.

Определить:

· фазные токи;

· ток в нулевом проводе;

· активную, реактивную и полную мощность каждой фазы и всей трёхфазной цепи;

· угол сдвига фаз между током и напряжением в каждой фазе;

· начертить в масштабе векторную диаграмму трёхфазной цепи.

В цепи, изображённой на схеме, потребители трёхфазного тока соединены звездой.