Система линейных уравнений

Линейные уравнения - это уравнения, в которых переменные имеют только первую степень и нет произведения переменных.

Система линейных уравнений с неизвестными записывается в виде:

(1)

В частном случае число уравнений и число переменных совпадают.

Решением системы является совокупность чисел, которые при подстановке их в уравнения (1) обращают их в тождество.

Если система (1) имеет хотя бы одно решение, она называется совместной; если нет ни одного решения, то система несовместна.

Если совместная система имеет только одно решение, то она называется определенной. Если более одного решения, то неопределенной.

Если определитель системы не равен нулю , то система имеет единственное решение. Для решения системы - линейных уравнений с - неизвестными существует несколько методов.

Метод Крамера

При использовании этого метода решение системы находится по формулам

..., (2)

здесь -определитель системы, - определитель, в котором элементы -го столбца определителя системы заменяются соответствующими свободными членами уравнений системы.

При решении системы следует иметь в виду следующее:

1. Если , но хотя бы один из определителей , , ..., не равен нулю, то система несовместна.

2. Если и все определители , , ..., равны нулю, то система или несовместна или имеет бесконечно много решений, если существует хотя бы одно решение.

Пример 3. Решить систему уравнений

Найдем определитель системы:

.

Найдем вспомогательные определители

.

Аналогично находим

, .

Теперь по формулам Крамера (2) найдем переменные

, , .

Матричный метод решения

Рассмотрим этот метод на примере системы трех линейных уравнений:

эту систему можно представить в матричной форме:

,

где , , .

Как видно, А это матрица, составленная из коэффициентов при перемененных, В - матрица - столбец из свободных членов уравнений, Х - матрица - столбец из переменных.

Решая матричное уравнение, находим

,

где - обратная матрица.

Итак, чтобы найти решение системы, нужно найти обратную матрицу и умножить ее на матрицу В.

Пример 4. Решить систему матричным способом

Найдем определитель системы: .

Составим матричное уравнение:

Найдем обратную матрицу. Для этого сначала найдем алгебраические дополнения:

Построим обратную матрицу:

.

Теперь найдем произведение матриц:

.

Итак, имеем .

Отсюда, , , .

Метод Гаусса

Этот метод решения системы линейных уравнений заключается в последовательном исключении переменных из уравнений для того, чтобы в одном из уравнений осталось одно неизвестное. Покажем, как применяется этот метод на примере.

Пример 5. Решить систему уравнений

Для удобства преобразований, составим расширенную матрицу из коэффициентов и свободных членов:

.

Умножим 1-ую строку на (-4) и сложим со второй строкой; затем умножим 1-ую строку на (-6) и сложим с третьей, получим

.

Теперь умножим 2-ую строку на и сложим с третьей; получим

.

Запишем полученные преобразованные уравнения:

Теперь из 3-его уравнения находим , из 2-го уравнения находим , из 1-го уравнения имеем . Итак, решение системы , , .

Как видно из данного примера, преобразования уравнений нужно делать так, чтобы элементы матрицы, расположенные ниже диагонали оказались равны нулю.