Система линейных уравнений

Системы линейных уравнений представляют один из важнейших разделов линейной алгебры. Они являются одним из основных инструментов моделирования экономических процессов.

Цель - обобщение понятия системы линейных уравнений (в том числе, когда число уравнений m не совпадает с числом неизвестных n); знакомство с матричной формой записи системы линейных уравнений.

Задача -знакомство с различными способами решения систем (преимущества и недостатки каждого из способов). В результате изучения темы студент должен уметь ответить на вопросы:

а) совместна система или нет;

б) уметь решить любым способом, если она совместна.

3.2.1. Основные понятия и определения

3.2.2. Системы n линейных уравнений с n переменными. Метод обратной матрицы и формулы Крамера.

3.2.3. Метод Гаусса.

3.2.4. Системы m линейных уравнений с n переменными. Метод последовательного исключения неизвестных.

Основные понятия и определения.

Система m линейных уравнений с n переменными имеет вид:

Система линейных уравнений - student2.ru a11x1+a12x2+a13x3+…+a1jxj+ …+a1nxn =b1

a21x1+ a22x2+a23x3+…+a2jxj+ …+a2nxn =b2

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - (3.2.1)

ai1x1+ ai2x2 +ai3x3+… +a­ijxj+…+ainxn =bi

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

am1x1+am2x2+am3x3+…+amjxj+…amnxn =bm

Система линейных уравнений - student2.ru Система линейных уравнений - student2.ru где a­ij – постоянные числа, называемые коэффициентами системы, bi – постоянные числа, называемые свободными членами (i=1,m, j= Система линейных уравнений - student2.ru ).

В краткой форме систему (3.2.1) можно записать в форме следующим образом: n

∑ a­ijxj = bi , (1≤i<m)

j=1

Совокупность чисел (x10, x20, …xno) называется решением системы(3.2.1), если после подстановки в каждое уравнение системы обращает его в верное равенство.

Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение и несовместной, если она не имеет решений.

Две системы называются равносильными (эквивалентными), если решение одной из них является решением другой и наоборот. С системой (3.2.1) можно проводить элементарные преобразования, подобные элементарным преобразованиям матриц (сложение уравнений, перестановку уравнений, умножение обеих частей уравнений на некоторое число), получая при этом системы эквивалентные системе (3.2.1).

Составим матрицу А=(аij)mxn из коэффициентов системы (3.21)

Система линейных уравнений - student2.ru Система линейных уравнений - student2.ru а11 а12… а1n
а21 а22… а2 n
- - - - - - - - -

A = аi1 ai2 …. ain

- - - - - - - - -

am1am2 …amn mxn

и введем столбцевые матрицы из неизвестных и свободных членов

Система линейных уравнений - student2.ru Система линейных уравнений - student2.ru Система линейных уравнений - student2.ru Система линейных уравнений - student2.ru x1b1

x2 b2

- -

Χ= - ; B= -

- -

xn nx1 ­bn nx1

Найдем произведение матриц АХ

Система линейных уравнений - student2.ru Система линейных уравнений - student2.ru Система линейных уравнений - student2.ru Система линейных уравнений - student2.ru Система линейных уравнений - student2.ru Система линейных уравнений - student2.ru а11 а12… а1n x1 а11 x1+ а12 x2+…+ а1n xn

а21 а22… а2 nx2а21 x1+ а22 x2+…+ а2 nxn

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

АХ= аi1 ai2 … ain - = - - - - - - - - - - - - - - - - -

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

am1 am2 …amn xn am1 x1+ am2x2+…+ amnxn

Система линейных уравнений - student2.ru Получена столбцевая матрица, элементы которой совпадают с левыми частями системы (3.2.1). Причем эти элементы равны соответствующим элементам матрицы В. А это означает, что матрицы АХ и В так же равны, т.е.

(3.2.2)

Получена матричная запись системы (3.2.1) или матричное уравнение.

Если ввести векторы

Система линейных уравнений - student2.ru Система линейных уравнений - student2.ru Система линейных уравнений - student2.ru Система линейных уравнений - student2.ru a1j b1

2j b2 Aj= - B= -

- -

amj bm

то систему (3.2.1) можно записать в векторной форме

n

A1x1+A2x2+…+Anxn=∑ Aj­xj = B

j=1

Наши рекомендации