Определение коэффициента связи двух индуктивно

Связанных катушек

Цель работы: определить коэффициенты взаимной индуктивности двух, расположенных на общей оси, катушек для различных частот.

Приборы и принадлежности: кассета ФПЭ-05/06, генератор ГЗ-102, осциллограф С1-71.

Описание установки

Кассета ФПЭ-05/06 содержит две катушки. Короткая катушка одета на длинную, имеет с ней общую ось и может свободно перемещаться вдоль последней при помощи штока, выведенного на переднюю панель. На передней панели кассеты установлены две пары гнёзд: «PQ» – для подключения питающего генератора и РО – для подключения осциллографа; два переключателя S₁ и S₂ – для попеременного подключения катушек к входным и выходным гнёздам (рисунок 5.1).

Рисунок 5.1 – Принципиальная схема установки

Ход работы

1 Установите с помощью осциллографа выходное амплитудное значение напряжения генератора U₁ = 4 В, f= 10–100 кГц.

2 Подключите генератор сигналов низкочастотный к входным гнёздам Х1, Х2 («PQ»), а осциллограф к выходным гнёздам Х3, Х4 («РО»).

3 Переключатель S₁поставьте в положение «PQ», а S₂ в это время должен находиться в положении «РО». При этом катушка L₁ через активное сопротивление R₁ = 10 кОм подключается к входным гнёздам Х1, Х2, а катушка L₂ подключается к выходным гнёздам Х3, Х4.

4 Запишите в таблицу измеренное с помощью осциллографа амплитудное значение Э.Д.С. взаимоиндукции при всех положениях штока (от 0 до 100 мм). По формуле (5.7) рассчитайте M₂₁ и по формулам (5.14) K₁.

5 Переключатель S₁ поставьте в положение «РО», а переключатель S₂ – в положении «PQ». Повторите измерения по п. 4 при напряжении генератора, равном 4 В и другом значении частоты из интервала f = 10–100 кГц. По формуле (5.8) рассчитайте M₁₂ и по формулам (5.14) K₂.

6 Постройте графики зависимости M₂₁ и M₁₂ как функции координаты х (х расстояние между центрами катушек).

7 Поставьте катушку L₁ в среднее положение относительно катушки L₂ .

8 Установите частоту звукового сигнала по указанию преподавателя (например, 10⁴ Гц).

9 Изменяя напряжение U в цепи катушки L₁, снимите зависимость амплитуды Э.Д.С. магнитной индукции от U в интервале 0 ÷ 5 В через 0,5 В. По формуле (5.7) рассчитайте M₂₁.

10 Поставьте катушку L₁ в среднее положение относительно катушки L₂ .

11 Установите амплитуду напряжения звукового генератора по указанию преподавателя (например, 2В).

12 Изменяя частоту генератора от 5 до 20 кГц (не менее 10 точек), снимите зависимость амплитуды Э.Д.С. индукции от частоты подаваемого напряжения. По формуле (5.7) рассчитайте M₂₁.

13По полученным результатам сделайте соответствующие выводы (пункты 4–6, 9, 12).

Тема 6

Изучение вакуумного диода

1 Устройство и принцип работы вакуумного диода

2 Явление термоэлектронной эмиссии

3 Вольтамперные характеристики вакуумного диода

Основные понятия по теме

Как свидетельствуют экспериментальные данные, электроны в металле могут иметь только некоторые, вполне определённые значения энергии. При этом состояние электрона в металле можно описать с помощью системы энергетических уровней или дискретного энергетического спектра (рисунок 6.1).

E

E0

Ei

F

Ek

A0

Рисунок 6.1 – Энергетический спектр

Каждому возможному состоянию электрона, характеризуемому определённой энергией E₁, соответствует некоторый энергетический уровень и наоборот. Распределение электронов по возможным квантовым состояниям описывается статистикой Ферми–Дирака, согласно которой вероятность заполнения состояния с энергией E определяется функцией

, (6.1)

где k – постоянная Больцмана, T – абсолютная температура, F– некоторое характерное значение энергии, называемое электрохимическим потенциалом или уровнем Ферми. С целью выяснения физического смысла постоянной F рассмотрим поведение функции Ферми–Дирака при абсолютном нуле температур. Полагая T = 0 в выражении (6.1), получаем при Е < F и при E > F. Зависимость (6.1) при T= 0 имеет вид разрывной ступенчатой функции и представлена на рисунке 6.2 кривой 1.

Таким образом, при абсолютном нуле температур все без исключения энергетические уровни, лежащие ниже уровня Ферми, заняты электронами. В то же время все квантовые состояния, энергия которых больше энергии Ферми, полностью свободны. Наличие такой резкой границы между занятыми и свободными энергетическими уровнями объясняется тем, что при T = 0 реализуется основное состояние твердого тела, т. е. состояние с наименьшей возможной энергией.

E

F

f

Рисунок 6.2 – Зависимость функции распределения при T = 0 и T ¹ 0

При этом количество заполненных квантовых состояний равно количеству электронов в металле, поскольку в соответствии с принципом запрета Паули в каждом квантовом состоянии может находиться не более одного электрона.

Если температура металла отлична от нуля, то электроны вследствие хаотического теплового движения могут заполнять энергетические уровни, лежащие выше уровня Ферми. Функция распределения (6.1) становится непрерывной. График зависимости представлен на рисунке (6.2) кривой 2. При достаточно больших Е, удовлетворяющих условию E – F >> , функция (6.1) принимает вид

, (6.2)

т. е. распределение Ферми–Дирака переходит в классическое распределение Больцмана.

Выражение (6.2) справедливо также для электронов, покинувших металл и находящихся в термодинамическом равновесии с электронным газом, существующим внутри металла. Пусть электрон, покоящийся за пределами металла вблизи его поверхности, имеет энергию E₀. Тогда с помощью функции (6.2) можно найти вероятность выхода электрона за поверхность

(6.3)

Как свидетельствует выражение (6.3), вероятность эмиссии электронов отлична от нуля и быстро увеличивается с ростом температуры. Образование электронного облака вблизи поверхности металла вследствие теплового движения электронов называется термоэлектронной эмиссией. Основной величиной, характеризующей интенсивность термоэлектронной эмиссии, является так называемая работа выхода A₀ = E₀ – F. Это энергия, необходимая для перевода электрона с уровня Ферми за пределы металла. Для чистых металлов термоэлектронная работа выхода имеет порядок нескольких эВ. При возрастании работы выхода интенсивность термоэлектронной эмиссии и плотность электронного облака вблизи поверхности металла резко уменьшается в соответствии с выражением (6.3).

Электрическое поле, существующее внутри вакуумного диода, в соответствии с принципом суперпозиции обусловлено, с одной стороны, разностью потенциалов между электронами, а с другой – наличием пространственного заряда в объеме электронной лампы. Распределение электрического потенциала между анодом и катодом можно описать с помощью уравнения Пуассона

, (6.4)

где – объемная плотность пространственного заряда, n – концентрация электронов, e – элементарный электрический заряд. С целью упрощения задачи рассматриваются плоские электроды, ось X направлена перпендикулярно их поверхности, начало координат совмещено с катодом. В этом случае зависимостью всех величин от координат Y и Z можно пренебречь, и поэтому уравнение (6.4) записано в одномерной форме. Объемная плотность электрического тока в любой точке внутри диода определяется выражением

, (6.5)

где – скорость упорядоченного движения электрона от катода к аноду (скорость дрейфа). Эта скорость может быть найдена из закона сохранения энергии

, (6.6)

согласно которому кинетическая энергия упорядоченного движения электронов обусловлена их ускорением в электрическом поле, существующем в пространстве между электродами. В результате использования соотношений (6.5), (6.6) уравнение Пуассона (6.4) можно переписать в виде

, (6.7)

где . После умножения обеих частей уравнения (6.7) на получаем

, (6.8)

где штрихами обозначено дифференцирование по x . Учитывая, что

,

запишем уравнение (6.8) в виде

. (6.9)

При интегрировании уравнения (6.9) будем использовать граничные условия

. (6.10)

Электростатический потенциал определён с точностью до произвольной постоянной, и ему можно приписать некоторое значение в любой точке пространства. Поэтому первое условие из (6.10) является фактически нормировкой потенциала. Что касается второго граничного условия, то оно означает равенство нулю напряжённости электрического поля на поверхности катода. Справедливость этого условия можно обосновать исходя из физических соображений. В противном случае, при наличии электрического поля вблизи поверхности катода, все излучаемые термоэлектроны увлекались бы этим полем к аноду, и электрический ток достигал бы насыщения при любых напряжениях на лампе. Последовательно интегрируя уравнение (6.9) с учетом граничных условий (6.10), получаем

, (6.11)

где – анодное напряжение, d – расстояние между электродами. Такая зависимость (6.11) между объемной плотностью анодного тока и анодным напряжением называется законом Богуславского–Ленгмюра, или законом трёх вторых.

Сила анодного тока может быть найдена путём умножения плотности тока (6.11) на площадь анода S. Если электроды имеют форму коаксиальных цилиндров, то зависимость между током и напряжением также подчиняется закону трёх вторых

, (6.12)

где , R и l – радиус и высота цилиндрического анода, – некоторая функция отношения радиусов анода и катода R/r (например, при R/r = 10 γ = 0,98). В случае большего отношения R/r формулу (6.12) можно получить из (6.11) в результате умножения на площадь анода S = 2πRl и использования приближенных соотношений d = R, γ = 1.

В соответствии с законом Богуславского–Ленгмюра график зависимости , построенный на основании экспериментальных данных, должен иметь вид прямой линии (рисунок 6.3). Измеряя тангенс угла наклона прямой относительно оси абсцисс, можно определить удельный заряд электрона.

. (6.13)

U3/2

I

δ

Рисунок 6.3 – Зависимость

Как свидетельствуют экспериментальные данные, закон трёх вторых справедлив только при относительно небольших значениях анодного напряжения. На рисунке 6.4 приведено семейство кривых, характеризующих наблюдаемую на эксперименте зависимость j от U при различных температурах катода (Т1 < Т2 < Т3).   j jн U T1 T2 T3 Рисунок 6.4 – Зависимость плотности тока от напряжения при различных температурах

Закон трёх вторых выполняется только при значениях анодного напряжения, которым соответствует монотонное возрастание плотности анодного тока. При этом имеет место нелинейная зависимость потенциала от координаты (кривая 1 на рисунке 6.5).

Такое распределение потенциала в пространстве между электродами обусловлено действием отрицательного объёмного заряда, сосредоточенного возле катода. Этот пространственный заряд, согласно принципу суперпозиции, ослабляет электрическое поле возле катода и усиливает это поле в области, прилегающей к аноду (рисунок 6.6, где E₀ – напряжённость электрического поля, создаваемого разностью потенциалов между катодом и анодом, E′– напряжённость электрического поля объёмного заряда). В соответствии с таким изменением напряжённости электрического поля изменяется угол наклона кривой к оси абсцисс (рисунок 6.5).

d

x

U1

U21

φ

Рисунок 6.5 – Распределение потенциала в пространстве

между электродами

K

A

-

+

Рисунок 6.6 – Пространственный заряд в диоде

По мере возрастания анодного напряжения происходит уменьшение объёмной плотности пространственного заряда, и его действие не может больше компенсировать электрическое поле на поверхности катода. Нарушается второе граничное условие из (6.10), при учёте которого выведен закон трёх вторых, и, следовательно, наблюдается отклонение от этого закона. При больших значениях анодного напряжения пространственный заряд полностью исчезает, и электрическое поле внутри анода становится однородным (линия 2 на рисунке 6.4). В этом случае все электроны, испускаемые катодом, достигают анода, и возникает насыщение анодного тока, при котором он практически не зависит от дальнейшего увеличения анодного напряжения (рисунок 6.4).

Сила анодного тока насыщения определяется испускательной способностью катода и может быть увеличена путём нагревания катода. Зависимость плотности анодного тока насыщения от температуры катода можно найти в результате учёта распределения термоэлектронов по скоростям. Для этого рассмотрим электронное облако, сосредоточенное при отсутствии анодного напряжения вблизи поверхности катода и находящееся в динамическом равновесии с электронным газом внутри катода. В соответствии с выражением (6.2) равновесное распределение термоэлектронов по скоростям описывается функцией:

,

где – концентрация электронов, импульсы которых лежат в интервале , а также учтено, что энергия электрона вблизи поверхности катода Е = Е₀ + Е_k складывается из потенциальной энергии E₀ и кинетической энергии Е_k . Из группы электронов, x-составляющие тепловых скоростей которых лежат в интервале от до , пересечь поверхность катода в течении промежутка времени dt могут только те электроны, которые находятся от катода не далее, чем на расстоянии dt. Через элемент поверхности катода dS за время dt указанными электронами будет перенесён электрический заряд

сосредоточенный в объёме прямого цилиндра dV с основанием dS и высотой dt. Вклад рассмотренной группы электронов в плотность тока определяется выражением

. (6.14)

Полную плотность тока можно найти в результате интегрирования соотношения (6.14) по всем возможным положительным значениям (ось X направлена перпендикулярно поверхности вглубь катода). При этом составляющие импульсов электронов и могут принимать любые значения. Интегрируя выражение (6.14) в указанных пределах, находим

. (6.15)

Каждый из интегралов по и в соответствии с формулой

,

равен , а первый интеграл в (6.15) может быть вычислен после внесения под знак дифференциала и равен mkT . Учитывая значения интегралов, входящих в (6.15), получаем закон Ричардсона–Дешмена

, (6.16)

где А = = . Выражение (6.16) определяет полную плотность электрического тока, проходящего из электронного облака через поверхность катода. Поскольку электронное облако находится в динамическом равновесии с электронным газом внутри катода, то такой же электрический заряд пересекает поверхность катода в обратном направлении. Так как при больших значениях анодного напряжения все электроны, испускаемые катодом, достигают анода, то формула (6.16), характеризующая испускательную способность катода, одновременно даёт зависимость тока насыщения от температуры. При этом сила анодного тока связана с плотностью тока насыщения соотношением , где S– площадь катода.

Логарифмируя (6.16), получаем

. (6.17)

Согласно выражению (6.17), зависимость между величинами и 1/T является прямо пропорциональной. Построив график зависимости , можно убедиться в справедливости формулы Ричардсона–Дешмена. Измерение тангенса угла наклона прямой позволяет определить работу выхода электрона из катода (рисунок 6.7):

. (6.18)

ψ

1/T

ln(jн/T2)

Рисунок 6.7 – График для определения работы выхода

электрона из катода

Работу выхода А₀ принято измерять в электрон-вольтах.

Вопросы для самоконтроля

1 Объясните принцип работы вакуумного диода.

2 Запишите закон Богуславского–Ленгмюра.

3 Как определить удельный заряд электрона с помощью вольтамперной характеристики вакуумного диода?

4 Приведите зависимость плотности тока насыщения от температуры.

5 Как определить работу выхода электрона с помощью соотношения Ричардсона–Дешмена?

6 От чего зависит ток насыщения?

7 Какие существуют методы измерения работы выхода электрона из металла?

Лабораторная работа 6