Приведение линейного дифференциального уравнения к канонической форме

Исследованию нестационарных процессов предшествует предварительное преобразование системы дифференциальных уравнений к стандартному виду – к форме Коши.

Покажем один из способов такого преобразования. В результате такого преобразования система уравнений приводится к канонической форме, удобной для представления в виде эквивалентной структурной схемы, привычной при исследовании систем автоматического управления.

Пусть дифференциальное уравнение порядка n в операторной форме, описывающее процессы в системе, представлено в виде:

Приведение линейного дифференциального уравнения к канонической форме - student2.ru

(20)

где p = d/dt – символ дифференцирования;

x(t), y(t) – вход и выход системы;

ai , bj– коэффициенты полиномов, в общем случае функции времени; i = [1 – n]; j = [1 – m]; m £ n.

Правую часть выражения (20) умножим и поделим на pn (pn / pn) и получим:

Приведение линейного дифференциального уравнения к канонической форме - student2.ru

(21)

где

Приведение линейного дифференциального уравнения к канонической форме - student2.ru (22) или Приведение линейного дифференциального уравнения к канонической форме - student2.ru (23)

Полученные зависимости (21) - (23) являются представлением исходного уравнения (20) в канонической форме.

Используя эти зависимости, а именно - (21) и (23) – легко может быть получена эквивалентная структурная схема, моделирующая данную систему, которая представлена на рисунке 5.

 
  Приведение линейного дифференциального уравнения к канонической форме - student2.ru

Приведем примеры использования описанного метода представления дифференциальных уравнений.

Пример 1.

Интегро - дифференцирующее динамическое звено описывается следующим операторным уравнением (первого порядка):

Приведение линейного дифференциального уравнения к канонической форме - student2.ru

(24)

Приведем его к стандартной форме (20)

Приведение линейного дифференциального уравнения к канонической форме - student2.ru

(25)

Приведение линейного дифференциального уравнения к канонической форме - student2.ru

где

 
  Приведение линейного дифференциального уравнения к канонической форме - student2.ru

Соответствующая структурная схема, реализующая данное уравнение и получаемая из схемы для общего случая (см. рисунок 5), имеет вид:

Пример 2.

Дано операторное уравнение второго порядка:

(26)

Приведение линейного дифференциального уравнения к канонической форме - student2.ru

Этим уравнением моделируются динамические характеристики инерционного и форсирующего звеньев второго порядка.

Преобразуя, приведем его к стандартной форме и получим

Приведение линейного дифференциального уравнения к канонической форме - student2.ru

(27)

Приведение линейного дифференциального уравнения к канонической форме - student2.ru

где

 
  Приведение линейного дифференциального уравнения к канонической форме - student2.ru

Соответствующая структурная схема, получаемая из схемы для общего случая (см. рисунок 5), имеет вид, представленный на рисунке 7.

Пример исследования нестационарных и нелинейных процессов

Постановка задачи

Провести исследование нестационарной системы, замкнутая структурная схема которой представлена на рисунке 8.

При этом:

· оценить переходные процессы при задании на вход контура слежения скачкообразного, а также синусоидальногосигналов;

· построить фазовые траектории ошибки Δ.

 
  Приведение линейного дифференциального уравнения к канонической форме - student2.ru

Приведение линейного дифференциального уравнения к канонической форме - student2.ru ; Приведение линейного дифференциального уравнения к канонической форме - student2.ru , T2 = 0.05 c.

Таблица 1. Исходные данные

t, c
Ko
T1, c 1.0 0.8 0.6 0.5 0.5 0.5
K1,1/c 0. 9 0.7 0. 5 0.4 0.4

Как следует из рассмотрения приведенных данных, большинство параметров системы является функцией времени. Кроме того, в системе присутствует нелинейность.

Синусоидальный входной сигнал имеетвид: x=A sin (2p f t + j0), A = 0.3, f=0.5 Гц, аскачкообразный сигнал – единичную ступеньку.

Наши рекомендации