Приведение линейного дифференциального уравнения к канонической форме

Исследованию нестационарных процессов предшествует предварительное преобразование системы дифференциальных уравнений к стандартному виду – к форме Коши.

Покажем один из способов такого преобразования. В результате такого преобразования система уравнений приводится к канонической форме, удобной для представления в виде эквивалентной структурной схемы, привычной при исследовании систем автоматического управления.

Пусть дифференциальное уравнение порядка n в операторной форме, описывающее процессы в системе, представлено в виде:

(20)

где p = d/dt – символ дифференцирования;

x(t), y(t) – вход и выход системы;

a_{i ,} b_j– коэффициенты полиномов, в общем случае функции времени; i = [1 – n]; j = [1 – m]; m £ n.

Правую часть выражения (20) умножим и поделим на pⁿ (pⁿ / pⁿ) и получим:

(21)

где

(22) или (23)

Полученные зависимости (21) - (23) являются представлением исходного уравнения (20) в канонической форме.

Используя эти зависимости, а именно - (21) и (23) – легко может быть получена эквивалентная структурная схема, моделирующая данную систему, которая представлена на рисунке 5.

Приведем примеры использования описанного метода представления дифференциальных уравнений.

Пример 1.

Интегро - дифференцирующее динамическое звено описывается следующим операторным уравнением (первого порядка):

(24)

Приведем его к стандартной форме (20)

(25)

где

Соответствующая структурная схема, реализующая данное уравнение и получаемая из схемы для общего случая (см. рисунок 5), имеет вид:

Пример 2.

Дано операторное уравнение второго порядка:

(26)

Этим уравнением моделируются динамические характеристики инерционного и форсирующего звеньев второго порядка.

Преобразуя, приведем его к стандартной форме и получим

(27)

где

Соответствующая структурная схема, получаемая из схемы для общего случая (см. рисунок 5), имеет вид, представленный на рисунке 7.

Пример исследования нестационарных и нелинейных процессов

Постановка задачи

Провести исследование нестационарной системы, замкнутая структурная схема которой представлена на рисунке 8.

При этом:

· оценить переходные процессы при задании на вход контура слежения скачкообразного, а также синусоидальногосигналов;

· построить фазовые траектории ошибки Δ.

; , T2 = 0.05 c.

Таблица 1. Исходные данные

t, c
Ko
T1, c	1.0	0.8	0.6	0.5	0.5	0.5
K1,1/c		0. 9	0.7	0. 5	0.4	0.4

Как следует из рассмотрения приведенных данных, большинство параметров системы является функцией времени. Кроме того, в системе присутствует нелинейность.

Синусоидальный входной сигнал имеетвид: x=A sin (2p f t + j₀), A = 0.3, f=0.5 Гц, аскачкообразный сигнал – единичную ступеньку.