Методы Рунге-Кутты произвольного и четвертого порядков

Любой метод из семейства методов Рунге-Кутты второго порядка (30) реализуют по следующей схеме. На каждом ша­ге, т.е. при каждом i=0, 1, 2,..., вычисляют значения функции

а затем находят шаговую поправку

прибавление которой к результату предыдущего шага дает при­ближенное значение решения у(х) в точке x_i+1 = x_i + h:

Метод такой структуры называют двухэтапным по количеству вычислений значений функции — правой части уравне­ния (1) — на одном шаге.

Анализ устройства методов Рунге-Кутты второго порядка позволяет представить, в какой форме следует конструировать явный метод Рунге-Кутты произвольного порядка. По аналогии с предыдущим для семейства методов Рунге-Кутты p-го поряд­ка используется запись, состоящая из следующей совокупности формул:

(32)

где к = 2, 3, …, р (для р-этапного метода). Многочисленные па­раметры с_k, а_к, b_kj, фигурирующие в формулах (32), подбираются так,чтобы получаемое методом (32) значение у_i+1 совпадало со значением разложения y(x_i+1) по формуле Тейлора с погрешностью O(h^p+1) (без учета погрешностей, совершаемых напредыдущих шагах).

Наиболее употребительным частным случаем семейства методов(32) является следующий метод Рунге-Кутты четвертого порядка относящийся к четырехэтапным и имеющий вид:

(33)

Не пытаясь воспроизвести выкладки, приводящие от общей записи семейства (32) при р=4 к конкретному методу (33), дадим геометрическое толкование последнего.

Обратив внимание на то, что шаговая поправка Δу_i, есть средневзвешенная величина поправок каждого этапа (с весовыми коэффициентами 1/6, 2/6, 2/6, 1/6 соответственно), проанализируем, как получаются эти поправки этапов. На первом этапе создается приращение соответствующее шаговой поправке Эйлера, — это
очевидно. На рис 2 ему отвечает отрезок ВС вертикали
х=x_i+1 (точка В получена ортогональным проектированием
точки А на эту вертикаль).

Рис. 2. Геометрическая иллюстрация одного шага методов Рунге-Кутта четвертого порядка

Так как точка М, благодаря свойству средней линии треугольника (см. ΔАВС), имеет ординату определяет значение f(M), служащее (согласно связи у=f(x, у)и геомет­рическому смыслу производной) тангенсом угла А в новом тре­угольнике с противолежащим этому углу катетом Далее, аналогично, подсчитав на вертикали x=x_i+1 откладываем следующую промежуточную (этапную) поправку Вычислив величину f(E)= являющуюся значением тангенса угла А во вновь получаемом ΔABG, имеем поправку последнего этапа. Итоговая шаговая поправка есть продукт усреднения с указанными коэффициентами четырех этапных поправок — длин отрезков ВС, BD, BE и BG. Точка Н будет стартовой для следующего, i+1-го, шага метода (33).

Заметим, что если первый этап, как уже упоминалось, соот­ветствует применению явного метода Эйлера, то четвертый — неявного, а второй и третий — уточненного методов Эйлера. По­следний имеет более высокий порядок точности, отсюда и боль­ший вес отвечающих ему значений этапных поправок.