Метод Эйлера, метод Рунге – Кутты
Основные понятия:численные методы решений дифференциальных уравнений [1, с. 425-428]
Рассмотрим задачу Коши для дифференциального уравнения первого порядка, разрешенного относительно производной
, 
.
Требуется найти решение на отрезке 
, где 
.
Разобьем отрезок 
на 
равных частей и получим последовательность 
где 
, а 
шаг интегрирования.
В методе Эйлера приближенные значения 
вычисляются последовательно по формуле
. (10.6)
По методу Рунге – Кутты (см. комментарий с. 230) второго порядка точности приближенные значения вычисляются по формуле
,
где 
. (10.7)
Задания для выполнения лабораторной работы
Задача 1. Получить численное решение дифференциального уравнения 
с начальным условием 
на отрезке 
методом Эйлера. Шаг интегрирования принять равным 
.
1.1. 
, 
на отрезке 
.
1.2. 
, 
на отрезке 
.
1.3. 
, 
на отрезке 
.
1.4. 
, 
на отрезке 
.
1.5. 
, 
на отрезке 
.
1.6. 
, 
на отрезке .
1.7. 
, 
на отрезке 
.
1.8. 
, 
на отрезке 
.
1.9. 
, 
на отрезке 
.
1.10. 
, на отрезке 
.
1.11. 
, на отрезке .
1.12. 
, 
на отрезке .
1.13. 
, 
на отрезке 
.
1.14. 
, на отрезке 
.
1.15. 
на отрезке 
.
1.16. 
, 
на отрезке 
.
1.17. 
, 
на отрезке 
.
1.18. 
, на отрезке 
.
1.19. 
, 
на отрезке 
.
1.20. 
, 
на отрезке 
.
1.21. 
, 
на отрезке 
.
1.22. 
, 
на отрезке 
.
1.23. 
, 
на отрезке 
.
1.24. 
, 
на отрезке 
.
1.25. 
, 
на отрезке 
.
1.26. 
, 
на отрезке 
.
1.27. 
, 
на отрезке 
.
1.28. 
, 
на отрезке 
.
1.29. 
, 
на отрезке 
.
1.30. 
, 
на отрезке 
.
1.31. 
, 
на отрезке .
1.32. 
, 
на отрезке 
.
1.33. 
, 
на отрезке .
1.34. 
, на отрезке .
1.35. 
, на отрезке .
Задача 2.Получить численное решение дифференциального уравнения с начальным условием на отрезке 
методом Рунге – Кутты, шаг интегрирования принять равным 
. Найти абсолютную погрешность 
и относительную погрешность 
(в процентах) приближенного решения (сравнить полученный приближенный результат с точным решением при 
) (варианты заданий взяты из 
).
2.1. 
, 
на отрезке 
.
2.2. 
, 
на отрезке 
.
2.3. 
, 
на отрезке 
.
2.4. 
, 
на отрезке 
.
2.5. 
, 
на отрезке 
.
2.6. 
, 
на отрезке 
.
2.7. 
, 
на отрезке 
.
2.8. 
, 
на отрезке 
.
2.9. 
, 
на отрезке 
.
2.10. 
, 
на отрезке 
.
2.11. 
, 
на отрезке .
2.12. 
, 
на отрезке .
2.13. 
, 
на отрезке 
.
2.14. 
, 
на отрезке 
.
2.15. 
, 
на отрезке 
.
2.16. 
, 
на отрезке 
.
2.17. 
при 
на отрезке 
.
2.18. 
, на отрезке .
2.19. 
, 
на отрезке 
.
2.20. 
, 
на отрезке 
.
2.21. 
, на отрезке .
2.22. 
, 
на отрезке .
2.23. 
, 
на отрезке 
.
2.24. 
, 
на отрезке 
.
2.25. 
, 
на отрезке 
.
2.26. 
, 
на отрезке 
.
2.27. 
, 
на отрезке 
.
2.28. 
, 
на отрезке 
.
2.29. 
, 
на отрезке 
.
2.30. 
, 
на отрезке 
.
Решение типовых задач
Пример 1. Получить численное решение дифференциального уравнения 
с начальным условием 
на отрезке 
с шагом 
, используя методы Эйлера и Рунге – Кутты. Найти погрешности полученных приближенных решений, сравнив их с точным решением (пример из 
).
Данное уравнение является уравнением Бернулли, его частное решение имеет вид 
. Тогда точное значение 
.
В задаче даны 
, . Используя расчетную формулу (10.6) метода Эйлера заполняем таблицу 10.2
Таблица 10.2
 |  |  |  |  |
| 3,0 | 1,2 | – 1,04 | – 0,208 | |
| 3,2 | 0,992 | – 0,67406 | – 0,13481 | |
| 3,4 | 0,85719 | – 0,48266 | – 0,09653 | |
| 3,6 | 0,76066 | – 0,36731 | – 0,07346 | |
| 3,8 | 0,68720 | – 0,29140 | – 0,05828 | |
| 4,0 | 0,62892 |
Используя расчетные формулы метода Рунге – Кутты (10.7) заполняем таблицу 10.3.
Таблица 10.3
| | | | |  |  |  |  |
| 3,0 | 1,2 | – 1,04 | 3,1 | 1,096 | – 0,84765 | – 0,16953 | |
| 3,2 | 1,03047 | – 0,73905 | 3,3 | 0,95649 | – 0,62503 | – 0,12501 | |
| 3,4 | 0,90547 | – 0,55356 | 3,5 | 0,85011 | – 0,47980 | – 0,09596 | |
| 3,6 | 0,80951 | – 0,43044 | 3,7 | 0,76647 | – 0,38320 | – 0,07606 | |
| 3,8 | 0,73345 | – 0,34494 | 3,9 | 0,69895 | – 0,30932 | – 0,06186 | |
| 4,0 | 0,67158 |
Погрешности (абсолютная и относительная ) приближенных значений 
приведены в таблице 10.4.
Таблица 10.4
| Решение |  |  |  , % |
| точное | 0,66667 | – | – |
| приближенное методом Эйлера | 0,62892 | 0,0377 | 5,7 |
| приближенное методом Рунге – Кутты | 0,67158 | 0,0049 | 0,7 |
Контрольные задания по теме «Дифференциальные уравнения»
1. Доказать, что решением уравнения первого порядка 
является функция 
.
2. Определить типы дифференциальных уравнений 1-го порядка:
1) 
, 2) 
, 3) 
,
4) 
, 5) 
.
3. Найти общее решение уравнения 
.
4. Найти общее решение дифференциального уравнения 
.
5. Найти 
– решение задачи Коши: 
.
6. Найти общее решение дифференциального уравнения 
7. Найти общее решение 
.
8. Проверить, какая из следующих функций является решением уравнения 
: 1) 
, 2) 
, 3) 
, 4) 
.
9.Записать линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка относительно искомой функции 
, если известны корни его характеристического уравнения: 
.
10. Найти решение задачи Коши: 
.
11. Найти вид частного решения следующих линейных неоднородных дифференциальных уравнений, не вычисляя неопределенных коэффициентов:
1) 
, 2) 
,
3) 
, 4) 
.
12. Найти общее решение дифференциального уравнения 
.