Вывод дифференциального уравнения

Уравнение выходного звена

Запишем уравнение моментов относительно точки О.

вывод дифференциального уравнения - student2.ru

Для перехода к безмерной форме записи введем обозначения:

вывод дифференциального уравнения - student2.ru

Тогда уравнение запишется в виде:

вывод дифференциального уравнения - student2.ru

Разделим обе части выражения на вывод дифференциального уравнения - student2.ru

вывод дифференциального уравнения - student2.ru

Обозначим:

вывод дифференциального уравнения - student2.ru

Тогда:

вывод дифференциального уравнения - student2.ru

вывод дифференциального уравнения - student2.ru
3. ПОСТРОЕНИЕ СТРУКТУРНОЙ СХЕМЫ И ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕДАТОЧНЫХ ФУНКЦИЙ

Уравнения звеньев САР сведем в систему: вывод дифференциального уравнения - student2.ru

вывод дифференциального уравнения - student2.ru выходное звено;

вывод дифференциального уравнения - student2.ru чувствительный элемент;

вывод дифференциального уравнения - student2.ru сервопоршень усилителя первого каскада.

Система уравнений содержит 6 переменных ( вывод дифференциального уравнения - student2.ru ), т. е. ,за исключением управляющего воздействия вывод дифференциального уравнения - student2.ru и возмущающего воздействия вывод дифференциального уравнения - student2.ru , число переменных равно числу уравнений. Систему дифференциальных уравнений записываем в операторной форме:

вывод дифференциального уравнения - student2.ru

Изобразим структурную схему выходного звена, описываемого уравнением:

вывод дифференциального уравнения - student2.ru

Предварительно вывод дифференциального уравнения - student2.ru выразив для упрощения построения: вывод дифференциального уравнения - student2.ru

вывод дифференциального уравнения - student2.ru

Рисунок 3 – Структурная схема выходного звена.

Изобразим структурную схему чувствительного элемента, описываемого уравнением:

вывод дифференциального уравнения - student2.ru

Предварительно вывод дифференциального уравнения - student2.ru выразив для упрощения построения:

вывод дифференциального уравнения - student2.ru

вывод дифференциального уравнения - student2.ru

Рисунок 4 – Структурная схема чувствительного элемента.

Изобразим структурную схему сервопоршня, описываемого уравнением:

вывод дифференциального уравнения - student2.ru

Предварительно выразим вывод дифференциального уравнения - student2.ru для упрощения построения схемы:

вывод дифференциального уравнения - student2.ru

вывод дифференциального уравнения - student2.ru

Рисунок 5 – Структурная схема сервопоршня.

Изобразив схемы отдельных элементов системы, сгруппируем эти схемы. С помощью такой операции получим структурную схему САР. При группировке учтем, что у нас одно управляющее воздействие вывод дифференциального уравнения - student2.ru , и одно возмущающее воздействие вывод дифференциального уравнения - student2.ru .

вывод дифференциального уравнения - student2.ru

Рисунок 6 – Структурная схема САР.

вывод дифференциального уравнения - student2.ru

Рисунок 7 – Структурная схема САР по управляющему воздействию δy.

Для определения передаточной функции САР в разомкнутом состоянии в структурной схеме условно размыкается основная обратная связь и вводятся входной δyвх и выходной δyвых параметры разомкнутой системы. Тогда передаточная функция разомкнутой САР определяется как отношение:

вывод дифференциального уравнения - student2.ru

При этом предполагается: вывод дифференциального уравнения - student2.ru

Выражение для вывод дифференциального уравнения - student2.ru по управляющему воздействию определяется как произведение:

вывод дифференциального уравнения - student2.ru

вывод дифференциального уравнения - student2.ru

где вывод дифференциального уравнения - student2.ru вывод дифференциального уравнения - student2.ru

Передаточная функция замкнутой САР по управляющему воздействию δpу, вывод дифференциального уравнения - student2.ru определяется по формуле:

вывод дифференциального уравнения - student2.ru

вывод дифференциального уравнения - student2.ru

вывод дифференциального уравнения - student2.ru

где вывод дифференциального уравнения - student2.ru вывод дифференциального уравнения - student2.ru

Собственные операторы замкнутой и разомкнутой САР имеют вид:

вывод дифференциального уравнения - student2.ru

АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ САР

D-разбиение

Пусть параметром, в плоскости которого строится D-разбиение, является коэффициент К3, который входит в выражение для вывод дифференциального уравнения - student2.ru собственного оператора. Величины остальных коэффициентов считаются заданными. Решается уравнение вывод дифференциального уравнения - student2.ru или

вывод дифференциального уравнения - student2.ru относительно коэффициента К3 :

вывод дифференциального уравнения - student2.ru

Выражение для К3 приводится к стандартной (удобной для подсчета на ЭВМ)форме:

вывод дифференциального уравнения - student2.ru

где вывод дифференциального уравнения - student2.ru

В выражение для коэффициентов уравнения подставляются численные значения параметров САР: вывод дифференциального уравнения - student2.ru

После подстановки численных значений получаем:

вывод дифференциального уравнения - student2.ru

Воспользовавшись программой MathCad определим мнимую и действительную составляющие частотной функции К1 для ряда значений частот. Наибольшую частоту колебаний принимают вывод дифференциального уравнения - student2.ru . В результате расчета и построения получим кривую D-разбиения для положительных частот. Зеркальным отображением кривой относительно действительной оси дополняют D-разбиение для отрицательных частот колебаний. Кривая D-разбиения заштриховывается с левой стороны по мере возрастания частоты колебаний ω. Воспользовавшись правилом подсчета корней характеристического уравнения для каждой из выделенных областей D-разбиения, определяют область, соответствующую наибольшему числу корней с отрицательной вещественной частью, т.е. более вероятную область устойчивости САР.

вывод дифференциального уравнения - student2.ru

Рисунок 8 – D-разбиение в плоскости коэффициента К1.

Зеркальным отображением кривой относительно действительной оси дополняем кривую D-разбиения для отрицательных частот колебаний. Кривая D-разбиения заштриховывается с левой стороны по мере возрастания частоты колебаний f . Воспользовавшись правилом подсчёта корней характеристического уравнения для каждой из выделенных областей D- разбиения определяем область I , соответствующую наибольшему числу корней с отрицательной вещественной частью, т.е. более вероятную область устойчивости САР.

Наши рекомендации