Дифференциал функции

I Определение и геометрический смысл

Известно, что приращение дифференцируемой в точке функции можно записать в виде суммы

двух слагаемых, каждое из которых стремится к нулю при . Однако, второе слагаемое имеет порядок малости более высокий, чем первое (“быстрее” стремится к нулю). То есть в этой сумме главную роль играет первое слагаемое.

Определение. Главная часть приращения функции , линейная относительно приращения аргумента x, называется дифференциалом функ-ции и обозначается символом dy.

Итак,

.

Геометрический смысл виден из рисунка: дифференциал функции – это приращение ординаты касательной к графику функции, соответствующее приращению аргумента .

Дифференциалом независимой переменной x, принято называть ее приращение и обозначать dx: . Тогда формула для дифференциала функции приобретает симметричный вид

или .

II Инвариантность формы первого дифференциала

Правило дифференцирования сложной функции приводит к одному очень важному свойству дифференциала. Вычислим dy для функции в двух случаях:

1) x – независимая переменная, тогда ;

2) x – некоторая функция , тогда

Сравнивая результаты, получаем т.н. свойство инвариантности формы первого дифференциала:

форма 1^го дифференциала функции не зависит от того, является

ли переменная x независимой или функцией другой переменной.

III Таблица дифференциалов

Так как дифференциал dy лишь множителем dx отличается от производной , то по таблице производных легко составить таблицу дифференциалов.

1. , , .

2. , .

3. , .

4. . 5. .

6. . 7. .

8. . 9. .

10. . 11. .

Также легко получить формулы для дифференциалов суммы, разности, произведения и частного функций:

а)

б)

в)

Отметим, что в таблице дифференциалов переменная x может быть как независимой, так и некоторой функцией. В таблице же производных (§6) x – это только независимая переменная.

Замечание. Формула для дифференциала функции , а именно:

,

позволяет написать формулу, выражающую производную функции через дифференциалы dx и dy:

.

При этом такая формула сохраняет силу, по какой бы независимой переменной ни были вычислены dx и dy. Эта формула позволяет легко запоминать (но не доказывать!) некоторые правила дифференцирования:

для сложной функции

;

для обратной функции

;

для функции, заданной параметрически

.