Интеграл энергии (четвёртый интеграл).
После интегрирования получим:
- четвёртый интеграл, который называется интегралом энергии.
h – постоянная интегрирования, которая называется постоянной энергии.
m – масса спутника
- полная энергия;
- кинетическая энергия;
- потенциальная энергия.
Знак « – » = «притяжение».
h – характеризует полную энергию спутника.
18.Будем брать попарно уравнения из системы (1) и исключать из них второе слагаемое:
Получили систему уравнений с разделяющими переменными:
После интегрирования этой системы получим:
Система уравнений (2) называется интегралы площадей.
С1, С2, С3 – постоянные площадей.
Физический и геометрический смысл постоянных площадей.Возьмём систему уравнений (2) умножим её составляющие на X, Y, Z и сложим между собой:
Получим уравнение плоскости, в которой движется спутник. Она перпендикулярна некоторому вектору , модуль которого равен: .
Направляющие косинусы этого вектора равны:
Рассмотрим интегралы площадей в орбитальной с.к.:
соотношение между полярной и прямоугольной с.к.
Поскольку с.к. находятся в плоскости орбиты, то С1=0 и С2=0, а С = С3. Следовательно интеграл площадей записывается одним уравнением: .
19.Запишем данное уравнение в полярных координатах:
Т.к. и
То уравнение примет следующий вид:
- интеграл площадей в орбитальной полярной с.к.
Из вида этого уравнения следует, что - это вектор кинетического момента движения. Мы получили физический смысл интеграла площадей.
Рассмотрим радиус вектор спутника в некоторый момент времени t и через малый промежуток времени Δt. Найдём площадь сектора ΔS, который описал за этот промежуток времени радиус-вектор.
ΔS ≈ ½*r*l
l = r*Δu
ΔS = ½*r2*Δu
Если перейти к пределу, то получим: - площадь сектора при повороте радиус-вектора на угол Δu.
Т.к. , то S = ½*C. А следовательно С = 2S.
Постоянная площадей С – есть двойная площадь, которую радиус-вектор спутника описывает за единицу времени. Мы получили геометрический смысл постоянной площадей
21.Интеграл орбиты.Пятый интеграл определяет геометрию орбиты и его называют интегралом Лапласа.
f1x + f2y + f3z = - μr + c2
f1, f2, f3 – компоненты постоянного вектора, который называют вектором Лапласа
.Этот вектор лежит в плоскости орбиты на линии абсид.
f – постоянная интегрирования;с – постоянная площадей;μ – гравитационная постоянная.Эта постоянная интегрирования связанна с другими
f2 = μ2 + hc2
h – постоянная энергии.Само уравнение орбиты получается из решения системы уравнений:
с1x + с2y + с3z = 0 – уравнение плоскости, в которой движется спутник;
f1x + f2y + f3z = - μr + c2 – уравнение поверхности вращения 2ого порядка.
22.Найдём уравнение орбиты спутника в орбитальной системе координат.
f1 = f
f2 = 0
f3 = 0
f1ξ = - μr + c2
ξ = r*cos u
η = r*sin u
f*r*cos u = - μr + c2
f*r*cos u + μr = c2
r*(f*cos u + μ) = c2
- уравнение орбиты в полярной орбитальной с.к.
где р – фокальный параметр; е – эксцентриситет.В геометрии уравнение такого вида называют фокальное уравнение конического сечения. Вид этого уравнения зависит от величины эксцентриситета:0 ≤ е < 1 – эллипс;е = 1 – парабола;е > 1 – гипербола.
23.Энергия спутника при различных видах движения.Беремформ.(5-вторая форм), p=c2/ μ и e=f/ μ. f2 = e2*μ2; e2*μ2 = μ2 + hc2; e2*μ2 – μ2 = hc2; μ2*(e2 – 1) = hc2; e2 – 1 = hc2/μ2
а) 0 ≤ е < 1 => h < 0 – эллипс
=>
=> при эллипсоидальном движении спутника кинетическая энергия Wкин < потенциальной энергии Wпотен.
Рассмотрим частный случай эллиптического движения когда е = 0 – круговое движение.
r = p
=>
- 1ая космическая скорость.
б) е = 1 => h = 0 – парабола
=>
=> при параболическом движении спутника кинетическая энергия Wкин = потенциальной энергии Wпотен.
- 2ая космическая скорость.
в) е > 1 => h > 0 – гипербола
=>
=> при гиперболическом движении спутника кинетическая энергия Wкин > потенциальной энергии Wпотен.
24.Для нахождения 6ого интеграла понадобится уравнение орбиты:
и интеграл площадей в орбитальной системе координат:
Для интегрирования надо произвести разделение переменных:
t – текущее время;υ – текущая истинная аномалия.
Интегрировать будем по времени от 0 до t и по истинной аномалии от 0 до υ:
τ – произвольная постоянная интегрирования. Она означает некоторый начальный момент времени, в который спутник находился в перегее.
Интеграл в правой части можно решить путём замены переменной, т.е. переменную интегрирования υ (истинная аномалия) меняют на другую переменную Е – эксцентрическую аномалию.
После замены переменной интегрирования получим:
n*(t – τ) = E – e*sinE
M = n*(t – τ) – средняя аномалия
M = E – e*sinЕ – шестой интеграл уравнения Кеплера
Если известная средняя аномалия, то из решения уравнения Кеплера можно найти эксцентрическую аномалию.
Уравнение Кеплера является трансцендентным, т.е. его решают методом приближений:
Е0 = М;
Е1 = M + е*sin (E0);
Е2 = M + е*sin (E1);
Е3 = M + е*sin (E2);
М – в радианах.
25.Расчёт координат спутника для любого момента времени.Для вычисления координат спутника необходимо знать его Кеплеровы элементы орбиты, т.е. а, е, Ω, ω, ι, τ.Порядок расчёта координат:
1. находим среднее движение:
2. находим среднюю аномалию: M = n*(t – τ)
t – текущий момент времени
3. решаем уравнение Кеплера и находим эксцентрическую аномалию M → E
Е0 = М;
Е1 = M + е*sin (E0);
Е2 = M + е*sin (E1);
Е3 = M + е*sin (E2);
_________________
Ек = M + е*sin (Eк-1)
4. находим истинную аномалию
5. находим фокальный параметр р = а*(1 - е2)
6. находим радиус-вектор
производим преобразование координат из орбитальной системы в гринвичскую или инерциальную z (r; υ) → (X; Y; Z)
26.27.Возмущенное движение ИСЗ.Поле тяготения Земли в действительности не является центральным поскольку форма Земли отличается от сферической, а плотность в теле Земли распределена не равномерно. По этому в действительности движение спутника нельзя считать Кеплеровым. Небесной механике всякое движение, которое отличается от Кеплерова называют возмущённым. А силы, которые вызывают это движение называют возмущающими. Эти силы бывают гравитационного и негравитационного характера.Возмущающие силы гравитационного характера:
1. отличие поля тяготения Земли от центрального;
2. силы тяготения других небесных тел (луна, солнце, кометы, астероиды и т.п.)
Возмущающие силы негравитационного характера:
1. сопротивление верхних слоёв атмосферы;
2. давление света;
3. взаимодействие с э/м полем Земли;
4. эффекты общей теории относительности.
Для характеристики всех возмущающих воздействий вводят некоторую возмущающую функцию R. Частные производные этой функции дают возмущающие ускорения.
- проекции возмущающего ускорения на координатные оси.