Векторы на плоскости и в пространстве

I. Векторы. Линейные операции над векторами.

Вектор – это направленный отрезок.

- начало вектора, - конец вектора.

- вектор.

Координаты вектора: .

Модуль вектора или его длина на плоскости равна расстоянию между точками и :

или .

Для вектора с координатами и в пространстве модуль вектора или его длина вычисляется по формуле:

.

Нулевым вектором называется вектор, модуль которого равен нулю. У него возможно любое направление в пространстве.

Радиус-вектором точки на плоскости называется вектор , у которого начало совпадает с началом координат . Координаты радиус-вектора совпадают с координатами его конца: . Модуль радиус-вектора или его длина:

.

Векторы можно складывать, вычитать, а также умножать вектор на число.

1. Вектор с координатами , называется противоположным вектору и обозначается .

2. Суммой двух векторов и на плоскости называется вектор, определяемый равенством:

.

Изображается диагональю параллелограмма, построенного на векторах и с общим началом.

3. Суммой двух векторов и в пространстве называется вектор, определяемый равенством:

.

4. Сложить два вектора и можно двумя способами: по правилу треугольника и по правилу параллелограмма.

5. Разностью двух векторов и на плоскости называется сумма вектора с вектором, противоположным вектору . Координаты разности двух векторов находятся по правилу:

.

Свойства сложения векторов:

1. .

2. .

3. .

4. .

Произведением вектора на число называется вектор . Это вектор, модуль которого в раз больше вектора , а направление совпадает с вектором , если , и противоположно , если .

Для данного вектора построим векторы и :

Свойства умножения вектора на число:

1. , .

2. .

3. .

II. Скалярное произведение векторов

и его свойства. Угол между векторами.

Скалярным произведением двух векторов и называется произведение их модулей на косинус угла между ними:

,

где - угол между векторами и .

Свойства скалярного произведения:

1. .

2. , если , либо , либо .

3. (коммутативность).

4. (дистрибутивность).

5. .

6. Скалярные произведения осей координат: , , , .

7. Необходимое и достаточное (НИД) условие перпендикулярности двух векторов выражается равенством:

.

Скалярное произведение векторов и на плоскости может быть записано через координаты этих векторов:

.

Косинус угла между векторами и на плоскости вычисляется по формуле:

.

Скалярное произведение векторов и в пространстве может быть записано через координаты этих векторов:

.

Косинус угла между векторами и в пространстве вычисляется по формуле:

.

III. Коллинеарные и компланарные векторы.

Векторы параллельны между собой (коллинеарные). При этом один вектор выражается через другой.

У коллинеарных векторов соответствующие координаты пропорциональны. Т.е. если два вектора на плоскости и - коллинеарные, то .

Аналогично, если два вектора в пространстве и - коллинеарные, то .

Векторы и называются линейно зависимыми, если (существуют) числа , , одновременно не равные нулю, т.ч. , т.е. если ненулевая линейная комбинация векторов, обращающаяся в ноль. Если равенство возможно только при , то векторы и называются линейно независимыми.

Два линейно зависимых вектора коллинеарные.

Три линейно зависимых вектора лежат в одной плоскости (или параллельны одной плоскости).

Векторы, лежащие в одной плоскости, называются компланарными.

Если векторы и линейно независимы, то любой вектор , компланарный с и , может быть единственным образом разложен по этим векторам:

,

где , - некоторые числа.

Если три вектора линейно независимы (т.е. не являются компланарными), то любой вектор может быть единственным образом разложен по этим векторам:

,

где , , - некоторые числа.

IV. Уравнение окружности.

Уравнение окружности с центром в точке и радиусом :

.

Уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом :

.

V. Уравнение сферы.

Уравнение сферы с центром в точке и радиусом :

.

Уравнение сферы с центром в начале координат и радиусом :

.

Стереометрия.

Принятые обозначения: - сторона основания правильного многогранника,

- число сторон основания, - боковое ребро, - высота, - периметр основания, , , - площади основания, боковой и полной поверхности многогранника;

- объём.