Приклад 1
Миттєвою швидкістю точки, яка рухається прямолінійно, в момент часу t0 називається границя середньої швидкості при умові, що Δt наближається до нуля.
Числа Δt, Δs називаються відповідно приростом часу, приростом шляху.
Отже, миттєвою швидкістю точки, яка рухається прямолінійно, є границя відношення приросту шляху Δs до відповідного приросту часу Δt, коли приріст часу наближається до нуля.
Приклад 1.
Точка рухається прямолінійно по закону s(t) = 5t2 + t + 3 (s — шлях в метрах, t – час в секундах). Знайдіть швидкість точки:
а) в довільний момент t0; б) в момент часу t = 2 с.
Розв'язання
а) 1) нехай значення аргументу t0 одержало приріст Δt, тоді t1 = t0 + Δt .
2) Знайдемо відповідний приріст шляху
Δs = s(t0 + Δt) - s(t0) = 5(t0 + Δt)2 + (t0 + Δt) + 3 – (5 t02 + t0 + 3) = 5 t02 +10 t0 Δt + 5Δt2 + t0 + Δt + 3 – 5t02 – t0 – 3 = 10t0Δt + 5Δt2 + Δt.
3) Знайдемо відношення приросту шляху до приросту часу (середню швидкість):
4) Знайдемо границю відношення приросту шляху до приросту часу (середньої швидкості):
Отже, миттєва швидкість точки в довільний момент часу t0 дорівнює 10t0 + 1.
Отже, при заданому законі руху s(t) миттєва швидкість v(t) в довільний момент часу t обчислюється по формулі v(t) = 10t + 1.
б) Якщо t = - 2 с, то маємо v(2) = 10 · 2 +1 = 21 ;
Відповідь: а) 10t + 1; б)21 .