Внутренние усилия в брусе. Виды НДС

Применим рассмотренный в предыдущем параграфе метод сечений к частному случаю тела - брусу, загруженному уравновешенной системой сил (рис. 1.10а). Проведем сечение и рассмотрим равновесие части стержня слева от сечения под действием сил Р₁, Р₂ и реакций отброшенной правой части или

напряжений. Приведем последние к центру, выбрав в качестве него точку C - центр тяжести сечения.

Введем систему координат с началом в центре C и обозначим через R_c и M_cглавный вектор и главный момент реакций отброшенной правой части (рис. 1.10б).

Определение. Внутренними усилиями в стержне называются проекции векторов R_c и M_c на оси координат системы Cxyz, взятые с определенным знаком.

Условие равновесия отсеченной части:

(Р₁,Р₂,R_с,M_c) ~ 0

эквивалентно уравнениям равновесия:

åC = 0; åU = 0; åZ = 0; åM_x = 0; åM_y = 0; åM_z = 0,

откуда и можно найти внутренние усилия.

Для части стержня слева от сечения:

Q_x = - R_cx = åC_i ; M_x = åM_x (R_i) ; ü

Q_y = - R_cy = åU_i ; M_y = åM_y (R_i) ; ý (1.1)

N_z = R_cz = - åZ_i ; M_z = - åM_z(R_i). þ

Компоненты этих усилий называются так:

Q_x, Q_y - поперечные силы;

N_z - продольная или нормальная сила;

M_x, M_y - изгибающие моменты;

M_z - крутящий момент.

Внутренние усилия можно выразить не только через внешние силы и их проекции – по формуле (1.1), но и через компоненты вектора напряжения в поперечном сечении бруса с площадью F:

Qx = tzxdF ; Mx = - sz× ydF; Qy = tzydF ; My = - sz× xdF; Nz = sz dF ; Mz = (tzx y - tzy x) dF.

(1.2)

Отметим, что формулы (1.2) справедливы для любой части бруса – как слева, так и справа от сечения. В отличие от этих формул, в (1.1) при переходе к рассмотрению правой части стержня нужно сменить все знаки на противоположные.

В зависимости от значений внутренних усилий различают несколько видов напряженно-деформированных состояний (НДС), некоторые из которых мы рассмотрим.

1. Центральным растяжением и сжатием (ЦРС) называется НДС, при котором N_z ¹ 0, а все остальные внутренние усилия равны нулю. ЦРС возникает в брусе, растягиваемом (сжимаемом) силами, приложенными к его торцам (рис. 1.11а).

2. Чистый изгиб соответствует НДС, при котором обращаются в нуль все компоненты внутренних усилий за исключением M_x (или M_y). Появляется в брусе при его изгибе двумя моментами, приложенными по торцам (рис. 1.11б).

3. Поперечный изгиб – это НДС, при котором Q_y ¹ 0, M_x ¹ 0, а остальные компоненты равны нулю. Возникает, например, в брусе, опертом по концам и загруженном посредине силой (рис. 1.11в).

Решение основной задачи СМ для этих НДС бруса и составляет основное содержание данного раздела курса.

ПРИМЕЧАНИЯ:

1. В соответствии с принципом Сен-Венана картина распределения напряжений при ЦРС в поперечном сечении бруса на достаточном удалении от его концов не зависит от способа приложения нагрузки. Это справедливо и для других видов НДС.

2. Внутренние усилия, несмотря на название, не являются силами, противодействующими приложенной нагрузке, – по отношению к рассматриваемой части стержня продольная сила N_z является такой же внешней силой, как и сила Р (рис1.11а).

ГЛАВА 2. ЦЕНТРАЛЬНОЕ РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ

2.1. Напряжения и деформации

Напряжения. Пусть стержень с площадью поперечного сечения F растягивается двумя равными по модулю силами Р.

Проведем сечение и рассмотрим часть стержня слева от сечения (рис. 1.11а). Действие отброшенной правой части заменим нормальными напряжениями s_z, эквивалентными продольной силе N_z = Р.

Предполагая, что нормальные напряжения равномерно распределены по площади поперечного сечения F, получим:

N_z = s_z dF = s_z×F,

откуда искомое выражение для напряжений при ЦРС примет вид:

s_z = N_z /F (2.1)

Правило знаков. При растяжении стержня: s_z > 0, N_z > 0; при его сжатии –s_z < 0, N_z < 0.

Деформации. Обозначим через l длину стержня до деформации, и пусть под действием приложенной нагрузки его длина стала равной l+Dl, где Dl - абсолютное удлинение стержня.

Относительным удлинением или продольной деформацией стержня при ЦРС называется величина

e = Dl/l . (2.2)

Правило знаков. При растяжении: Dl > 0, e > 0; при сжатии: Dl < 0, e < 0.

В общем случае продольная сила N_z непостоянна по длине стержня. Например, – при его растяжении или сжатии под действием собственного веса. При этом будут неравномерны удлинения отдельных участков стержня и применение формулы (2.2) теряет смысл.

Для вывода формулы, являющейся обобщением (2.2) на случай переменной продольной силы и неравномерных деформаций, введем понятие перемещения точки деформируемого тела.

Пусть точка A(x, y, z) упругого тела в результате силовых или каких-либо иных воздействий перемещается и занимает в пространстве положение А'.

Вектор AA'(u, v, w)называется перемещением точки А деформируемого тела.

В общем случае каждая компонента вектора перемещения является функцией координат – x, y, z.

Рассмотрим брус длиной l в системе координат Oxyz, где начало отсчета выбрано на его левом, жестко защемленном конце, плоскость Oyz является плоскостью симметрии, а ось Оz проходит через центр тяжести сечений.

При этих предпосылках положение точки А, лежащей на оси бруса, однозначно определяется заданием только одной координаты – z (рис. 2.1а).

Под действием сил, приложенных вдоль оси Оz, и вызывающих центральное растяжение стержня, точка А получит перемещение AA'. Очевидно, что величина перемещения определяется удалением точки А от начала координат: w(0) = 0, w(z) = AA¢, w(l) = Dl (рис.2.1б).

Проведем два сечения на расстояниях z и z+Dz от левого конца и рассмотрим поведение заключенного между ними участка стержня в ходе его загружения. Если положить w(z+Dz) = w(z) + Dw, то станет очевидным, что перемещение этого отрезка стержня как твердого тела на величину w(z) сопровождается его удлинением на величину Dw (рис. 2.1в). Предполагая, что продольная сила остается постоянной на участке Dz, воспользуемся формулой (2.2) для определения его относительного удлинения. Подставляя в (2.2) Dl = Dw, а l = Dz и переходя к пределу, получим выражение продольной деформации в сечении z:

e_z = . (2.3)

Таким образом, зная w(z) можно найти деформацию e_z(z), и наоборот – по известной деформации e_z из (2.3) можно найти перемещение w:

e_zdz,

или

w (z) = w₀ + e_zdz. (2.4)