Вязкость жидкости. Уравнение Ньютона. Ньютоновские и неньютоновские жидкости

При течении реальной жидкости отдельные слои ее воздейст­вуют друг на друга с силами, касательными к слоям. Это явление называют внутренним трением или вязкостью.

Рассмотрим течение вязкой жидкости между двумя твердыми пластинками (рис. 7.1), из которых нижняя неподвижна, а верхняя движется со скоростью u_В. Условно представим жидкость в виде нескольких слоев 1, 2, 3 и т. д. Слой, «прилипший» ко дну, неподвижен. По мере удаления от дна (нижняя пластинка) слои жид­кости имеют все большие скорости (u₁ < u₂ < u₃ < ...), максимальная скорость u_В будет у слоя, который «прилип» к верхней пластинке.

Рис. 7.1

Слои воздействуют друг на друга. Так, например, третий слой стремится ускорить движение второго, носам испытывает торможение с его стороны, а ускоряется четвертым слоем и т. д. Сила внутреннего трения пропорциональна площади S взаимодействующих слоев и тем больше, чем больше их относительная скорость. Так как разде­ление на слои условно, то принято выражать силу в зависимости от изменения скорости на некотором участке в направлении х, перпендикулярном скорости, отнесенного к длине этого участка, т. е. от величины du/dx — градиента скорости (скорости сдвига):

(7.1)

Это уравнение Ньютона. Здесь h — коэффициент пропорци­ональности, называемый коэффициентом внутреннего трения, или динамической вязкостью (или просто вязкостью). Вязкость зави­сит от состояния и молекулярных свойств жидкости (или газа).

Единицей вязкости является паскалъ-секунда (Па • с). В системе СГС вязкость выражают в пуазах (П): 1 Па • с = 10 П.

Для многих жидкостей вязкость не зависит от градиента ско­рости, такие жидкости подчиняются уравнению Ньютона (7.1), и их называют ньютоновскими. Жидкости, не подчиняющиеся уравнению (7.1), относят к неньютоновским. Иногда вязкость ньютоновских жидкостей называют нормальной, а неньютонов­ских — аномальной.

Жидкости, состоящие из сложных и крупных молекул, напри­мер растворы полимеров, и образующие благодаря сцеплению мо­лекул или частиц пространственные структуры, являются ненью­тоновскими. Их вязкость при прочих равных условиях много больше, чем у простых жидкостей. Увеличение вязкости происхо­дит потому, что при течении этих жидкостей работа внешней си­лы затрачивается не только на преодоление истинной, ньютонов­ской, вязкости, но и на разрушение структуры. Кровь является неньютоновской жидкостью.

7.2. Течение вязкой жидкости по трубам. Формула Пуазейля

Течение вязкой жидкости по трубам представляет для медици­ны особый интерес, так как кровеносная система состоит в основ­ном из цилиндрических сосудов разного диаметра.

Вследствие симметрии ясно, что в трубе частицы текущей жидкости, равноудаленные от оси, имеют одинаковую скорость. Наибольшей скоростью обладают частицы, движущиеся вдоль оси трубы; примыкающий к трубе слой жидкости неподвижен.

Примерное распределение скорости сло­ев v жидкости в сечении трубы показано на рис. 7.2.

Для определения зависимости ско­рости слоев от их расстояния r от оси выделим мысленно цилиндрический объем жидкости некоторого радиуса r и длины l (рис. 7.3, а). На торцах этого цилиндра поддерживаются давления p_l и р₂ соответственно, что обусловливает результирующую силу

(7.2)

На боковую поверхность цилиндра со стороны окружающего слоя жидкости действует сила внутреннего трения, равная [см. (7.1)]

(7.3)

где S = 2prl—площадь боковой поверхности цилиндра. Так как жидкость движется равномерно, то силы, действующие на выде­ленный цилиндр, уравновешены: F = F_тр . Подставляя в это равен­ство (7.2) и (7.3), получаем

(7.4)

Знак «-» в правой части уравнения обусловлен тем, что du/dr < 0 (скорость уменьшается с увеличением r). Из (7.4) имеем

Проинтегрируем это уравнение:

(7.5)

здесь нижние пределы соответствуют слою, «прилипшему» к внут­ренней поверхности трубы (u= 0 при r = R), а верхние пределы — переменные. После интегрирования (7.5) получаем параболиче­скую зависимость скорости слоев жидкости от расстояния их до оси трубы (см. огибающую концов векторов скорости на рис. 7.2):

Наибольшую скорость имеет слой, текущий вдоль оси трубы (r = 0):

Установим, от каких факторов зависит объем Q жидкости, про­текающей через горизонтальную трубу за 1 с. Для этого выделим цилиндрический слой радиусом r и толщиной dr. Площадь сече­ния этого слоя (рис. 7.3, б) dS = 2prdr. Так как слой тонкий, то можно считать, что он перемещается с одинаковой скоростью u. За 1 с слой переносит объем жидкости

dQ = udS = u • 2prdr/. (7.7)

Подставляя (7.6) в (7.7), получаем

откуда интегрированием по всему сечению находим

Зависимость объема жидкости Q, протекающей через горизон­тальную трубу радиуса R за 1 с, определяется формулой Пуазейля (7.8), где h — вязкость жидкости, а р₁ - р₂ — разность давле­ний, поддерживаемая на торцах трубы длиной l.

Как видно из (7.8), при заданных внешних условиях (р₁ и р₂) через трубу протекает тем больший объем жидкости, чем меньше ее вязкость и больше радиус трубы.

Проведем аналогию между формулой Пуазейля (7.8) и законом Ома для участка цепи без источника тока. Разность потенциалов соответствует разности давлений на концах трубы, сила тока — объему жидкости, протекающей через сечение трубы в 1 с, элект­рическое сопротивление — гидравлическому сопротивлению:

(7.9)

Гидравлическое сопротивление тем больше, чем больше вязкость h, длина l трубы и меньше площадь поперечного сечения. Аналогия между электрическим и гидравлическим сопротивлениями позво­ляет в некоторых случаях использовать правило нахождения элект­рического сопротивления последовательного и параллельного соеди­нений проводников для определения гидравлического сопротивления системы последовательно или параллельно соединенных труб. Так, например, общее гидравлическое сопротивление трех труб, со­единенных последовательно (рис. 7.4, а) и параллельно (рис. 7.4, б), вычисляется соответственно по формулам:

Х = Х₁ + Х_г + Х₃,(7.10)

(7.11)

Чтобы придать уравнению Пуазейля более общее выражение, справедливое и для труб переменного сечения, заменим (р₁ - р₂)/dl градиентом давления dp/dl, и тогда

(7.12)

Установим в разных местах горизонтальной цилиндрической трубы разного сечения, по которой течет вязкая жидкость, мано­метрические трубки (рис. 7.5, а). Они показывают, что статическое давление вдоль трубы переменного сечения убывает пропорци­онально l : dp/dl = const. Так как величина Q одинакова (несжимае­мая жидкость), то [см. (7.12)] градиент давления больше в трубах меньшего радиуса. График зависимости давления от расстояния вдоль труб разного радиуса приближенно показан на рис. 7.5, б

Физические вопросы гемодинамики

Гемодинамикой называют область биомеханики, в которой исследуется движение крови по сосудистой системе. Физи­ческой основой гемодинамики является гидродинамика Те­чение крови зависит как от свойств крови, так и от свойств кровеносных сосудов

В главе рассматриваются также физические основы работы некоторых технических устройств, используемых в связи с кровообращением.