Тема 8. Нормальный закон распределения

Случайная величина распределена по нормальному закону, если ее плотность распределения вероятностей

(1), где - математическое ожидание, - среднее квадратическое отклонение .

Вероятность того, что примет значение, принадлежащее интервалу , равна

(2), где

-функция Лапласа.

Вероятность того, что абсолютная величина отклонения нормально распределенной случайной величины от ее математического ожидания не превысит положительного числа , равна

(3).

Задача 1.

На станке изготавливаются шарики для подшипников. Номинальный диаметр шарика . Фактический размер диаметра шарика вследствие неточности изготовления представляет собой случайную величину , распределенную по нормальному закону с математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением . Найти :

а) процент шариков для подшипников, которые будут иметь диаметр от 4,8 до 5 мм;

б) процент брака, если известно, что при контроле бракуются все шарики, диаметр которых отклоняется от номинального больше, чем 0,1 миллиметра.

Указание: для пункта а использовать формулу (2), для пункта б использовать формулу (3) и рассматривать противоположное событие – шарик не будет забракован.

Ответ: а) ; б)

Задача 2.

Длина початка – один из главных показателей продуктивности кукурузы. Выявлено, что у растений кукурузы сорта Чиквантино длина початка представляет собой случайную величину , распределенную по нормальному закону с математическим ожиданием . У 68,26 % растений кукурузы этого сорта длина початка принимает значение, принадлежащее интервалу см. Какой процент растений кукурузы этого сорта имеет длину початка более 14,1 см?

Указание: подставив исходные данные в формулу (2) получим уравнение

.

Выполнив преобразования находим .

Далее необходимо решить это уравнение в mathcad

После 0,3413 нажать одновременно ctrl и = и затем . Затем поставить курсор около x и выполнить команду: symbolic variable solve.

Получим, что , значит и .

Далее необходимо определить . Это можно определить в mathcad.

Ответ: 10,56 %.

Задача 3.

Производится взвешивание некоторого вещества без систематических ошибок. Случайные ошибки взвешивания подчинены нормальному закону распределения со средним квадратическим отклонением найти вероятность того, что взвешивание будет произведено с ошибкой, не превосходящей по абсолютной величине 10 г.

Указание: использовать формулу (3).

Ответ: 0,383.

Задача 4.

Настриг шерсти у овец асканийской породы представляет собой случайную величину ,распределенную по нормальному закону. Практически все возможные значения этой величины принадлежат интервалу кг. Найти интервал, симметричный относительно математического ожидания, в котором с вероятностью 0,95 заключены возможные значения шерсти у овец этой породы.

Указание: надо использовать закон трех сигм и потом можно перейти к системе уравнений

Решив эту систему найдем и и далее можно использовать формулу (3).

решение системы линейных уравнений

далее аналогично задаче 3