Нормальный закон распределения. Закон равномерной плотности

Плотность вероятности нормально распределенной случайной величины имеет вид:

, где - среднее квадратичное отклонение, - математическое ожидание. Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины Х в интервал вычисляется по формуле:

, где

- функция Лапласа (интеграл вероятности).

Вероятность того, что абсолютная величина отклонения меньше положительного числа :

Равномерным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины Х, если на интервале (а, b), которому принадлежат все возможные значения Х, дифференциальная функция сохраняет постоянное значение, а именно , вне этого интервала .Для равномерно распределенной случайной величины

6.1 Случайная величина Х распределена нормально с , . Записать плотность распределения вероятностей Х. Вычислить

вероятность попадания случайной величины Х в интервал (30, 80).

Решение:

, следовательно

6.2 Вывести правила “ ”, “двух ” и “трех сигм”: вероятность того, что абсолютная величина отклонения нормально распределенной случайной величины будет: а) меньше , равна 0,6826; б) меньше 2 , равна 0,9544; в) меньше утроенного среднего квадратичного отклонения, равна 0,9973.

Решение:

а)

( в данном случае равняется )

б)

в)

6.3 Случайная величина Х распределена нормально с , . Найти интервал, в который с вероятностью 0,9973 попадет в результате испытания величина Х.

Решение:

По правилу “трех сигм” случайная величина Х с вероятностью 0,9973 попадет в интервал ( ), который в данном случае

( )=(-5, 25)

6.4 На некоторый полезный сигнал накладывается нормально распределенная помеха X с плотностью распределения , где X – напряжение тока в В. Найти вероятность того, что помеха по абсолютной величине не превысит: а) 4В; б) 6В.

Решение:

Из формулы для плотности вероятностей X, следует, что m=0, =2.

а) (4=2 ) по правилу “двух сигм”.

б) (6=3 ) по правилу “трех сигм”.

6.5 Для замера напряжений используются специальные датчики. Определить среднюю квадратическую ошибку датчика, если он не имеет систематических ошибок, а случайные распределены по нормальному закону и с вероятностью 0,8 не выходят за пределы ±0,2 мкв.

Решение:

Случайная величина Х – ошибка датчика , т.к. датчик не имеет систематических ошибок. По условию

, следовательно

, по таблице для функции

.

6.6 Коробки с шоколадом укладываются автоматически, их

средняя масса равна 1,06 кг. Найти стандартное отклонение, если 2,5% коробок имеют массу меньше 1 кг.

Предполагается, что масса коробок распределена по нормальному закону.

Решение:

Случайная величина Х – масса коробки. Т.к. средняя масса коробки равна 1,06, то . 2,5% коробок имеют массу меньше 1 кг, т.е.

, отсюда

, (по таблице функции Лапласа)

6.7 Автомат штампует детали. Контролируется длина детали Х, которая распределена нормально. Проектная длина равна 50 мм. Фактически длина изготовленных деталей не менее 32 мм и не более 68 мм. Найти вероятность того, что длина наудачу взятой детали: а) больше 55 мм, б) меньше 40 мм. Записать плотность распределения этой случайной величины.

Решение:

Случайная величина Х – длина детали. Так как проектная длина равна 50 мм, то . Требуется найти вероятность того, что длина наудачу выбранной детали меньше 40 мм, но поскольку истинная длина заключена в интервале от 32 до 68 мм, то нужно найти вероятность того, что 32<X<40. Нахождение вероятности Х>55 сводится к вероятности того, что 55<X<68.

Итак, следует применить формулу

Неизвестным считается среднее квадратическое отклонение . Из условия задачи известно, что , т.к. фактическая длина деталей лежит в интервале (32, 68).

в силу нечетности функции Лапласа. Итак, откуда , а =3,6. Следовательно, плотность распределения случайной величины Х

, а искомые вероятности

6.8 Браковка шариков для шарикоподшипников производится следующим образом: если шарик не проходит через отверстие диаметром , но проходит через отверстие диаметром , то его размер считается приемлемым. Если какое-нибудь из этих условий не выполняется, то шарик бракуется. Известно, что диаметр шарика Х – случайная величина, распределенная по нормальному закону с параметрами , где - параметр

(0< < ), который определяет точность изготовления шариков.

а) Определить вероятность того, что шарик будет забракован. б) Какую точность изготовления следует установить, чтобы брак составлял не более 2% всей продукции?

Решение:

б) (вероятность брака 2% из 100%)

, ,

(по таблице функции Лапласа) ,

6.9 Высотомер самолета делает систематическую ошибку +20 м. и случайные ошибки, подчиненные нормальному закону со средним квадратичным отклонением 30 м. Для самолета отведен коридор высотой в 100 м. Какова вероятность того, что он будет лететь: а) внутри коридора; б) ниже коридора; в) выше коридора?

Решение:

Пусть случайная величина Х – ошибка высотомера.

, т.к. систематическая ошибка 20 м., Предполагается, что летчик ведет самолет наиболее разумным способом, т.е. так, чтобы высотомер показывал середину отведенного коридора. Тогда самолет будет лететь внутри коридора, если /Х/<50 м.

Использовали определение функции распределения и свойство функции нормального распределения

6.10 Составить выражения дифференциальной и интегральной функций распределения фазы вектора, который с равной вероятностью может иметь любую фазу в интервале (0;2 ).

Решение:

1)

2)

3)

6.11 Цена деления шкалы вольтметра 0,2. Показания прибора округляют до ближайшего целого деления. Найти вероятность того, что при отсчете будет сделана ошибка: а) больше 0,01; б) меньше 0,06.

Решение:

Ошибку округления можно рассматривать как случайную величину Х, распределенную равномерно между двумя целыми делениями

Ошибка отсчета превысит 0,01, если она будет заключена в интервале (0,01;0,19). По формуле , получим

Ошибка будет меньше 0,06, если она будет заключена в интервале (0;0,06) или в интервале (0,14;0,2)

6.12 Поезда метро идут с интервалом 2 минуты. Пассажир выходит на платформу в произвольный момент времени. Определить плотность и интегральную функцию распределения времени ожидания поезда, математическое ожидание, дисперсию и вероятность того, что пассажир будет ожидать очередной поезд меньше 30 секунд.

Решение:

Случайная величина Х – время ожидания, величина распределена равномерно в интервале (0;2)

1)

2)

3)

,

Пассажир будет ожидать очередной поезд меньше 30 сек. (1/2 минуты), если случайная величина Х заключена в интервале (1,5;2)

6.13 Рыболов ловит рыбу в пруду, где равновероятно поймать любую рыбу от 0,2 до 1 кг при каждом забрасывании снасти. Найти среднюю величину улова и вероятность поймать при одном забрасывании не более 0,8 кг.

Решение:

Случайная величина Х – величина улова

Средняя величина улова

6.14 На перекрестке стоит автоматический светофор, в котором 1 минуту горит зеленый свет и 0,5 минуты – красный, затем опять 1 минуту горит зеленый свет; 0,5 минуты – красный и т.д. Некто подъезжает к перекрестку на машине в случайный момент, не связанный с работой светофора. а) найти вероятность того, что он проедет перекресток, не останавливаясь. б) Найти закон распределения и числовые характеристики времени ожидания у перекрестка.

Решение:

Момент проезда автомашины через перекресток распределен равномерно в интервале, равном периоду смены цветов в светофоре. Этот период равен 1+0,5=1,5 (мин.)

Чтобы машина проехала через перекресток, не останавливаясь, достаточно, чтоб момент проезда перекрестка пришелся на интервал времени (0;1),

т.е.

Время ожидания есть смешанная случайная величина, с вероятностью 2/3 она равна 0, а с вероятностью 1/3 принимает с одинаковой плотностью вероятности любое значение между 0 и 0,5 мин. Среднее время ожидания у перекрестка

(мин)

(мин²).

6.15 Случайная величина Х имеет нормальное распределение с параметрами . Что больше или ?

Ответ: р₁=0,1517; р₂=0,1359

6.16 На полезный сигнал накладывается случайная нормально распределенная помеха с плотностью распределения , где u – напряжение в В. Найти вероятность того, что помеха не превысит по абсолютной величине 3В.

Ответ: 0,9973

6.17 Производится взвешивание некоторого вещества без систематических ошибок. Случайные ошибки взвешивания подчинены нормальному закону со средним квадратическим отклонением .

Найти вероятность того, что взвешивание будет произведено с ошибкой, не превосходящей по абсолютной величине 10 г.

Ответ: 2Ф(0,5)=0,383

6.18 На станке изготавливается некоторая деталь. Ее длина представляет собой случайную величину, распределенную по нормальному закону со средним значением 20 см и дисперсией 0,04 см . Найти вероятность того, что длина детали будет заключена между 19,7 см и 20,3 см. Какую точность длины изделия можно гарантировать с вероятностью 0,95.

Ответ: р₁=Ф(1,5)=0,8664 (5 1,96) 0,392

6.19 Стрельба ведется из точки О вдоль прямой ОХ. Средняя дальность полета снаряда равна 1200 м. Предполагая, что дальность полета Н распределена по нормальному закону со средним квадратическим отклонением 40 м, найти, какой процент выпускаемых снарядов даст перелет от 60 до 80 м.

Ответ: P(1260<X<1280)=0,0444% (Ф(2)=0,4772 Ф(1,5)=0,4332)

6.20 Цена деления шкалы измерительного прибора 0,2. Показания прибора округляют до ближайшего целого деления. Найти вероятность того, что при отсчете будет сделана ошибка: а) меньшая 0,04; б) большая 0,05.

Ответ: р₁=0,4; р₂=0,5

6.21 Автобусы некоторого маршрута идут строго по расписанию. Интервал движения 5 минут. Найти вероятность того, что пассажир, подошедший к остановке, будет ожидать очередной автобус меньше 3 минут.

Ответ: р=0,6.

§7.Системы случайных величин.

Двумерной называют случайную величину (X,Y), возможные значения которой есть пары чисел . Составляющие X и Y,рассматриваемые одновременно, образуют систему двух случайных величин.

Дискретной называют двумерную случайную величину, составляющие которой дискретны. Непрерывной называют двумерную случайную величину, составляющие которой непрерывны. Интегральной функцией распределения двумерной случайной величины называют .

Закон распределения дискретной случайной величины может быть задан:

а)в виде таблицы с двойным входом,содержащей возможные значения и их вероятности; б)аналитически,например,в виде интегральной функции.

Дифференциальной функцией распределения непрерывной двумерной случайной величины называют

Зная дифференциальную функцию ,можно найти интегральную по формуле :

Вероятность попадания случайной точки (X,Y) в область определяется равенством

Свойства дифференциальной функции :

1.

2.

Если составляющие X и Y дискретны и их возможные значения : условным распределением составляющей X при называют совокупность условных вероятностей , где

Если X и Y непрерывны,то условной дифференциальной функцией составляющей при заданном значении называют отношение дифференциальной функции системы к дифференциальной функции составляющей :

аналогично,

Величины X и Y являются независимыми,если условные дифференциальные функции случайных величин X и Y равны их безусловным дифференциаль-

ным функциям.

Числовые характеристики системы случайных величин :

для непрерывной системы :

корреляционный момент системы (X,Y)

для дискретной системы :

Коэффициент корреляции (служит для оценки тесноты линейной связи

между X и Y )

Если ,то X и Y называют коррелированными. Из коррелированности X и Y следует их зависимость,из независимости X и Y следует их некоррелированность.

Корреляционная матрица системы двух случайных величин X и Y:

7.1.По некоторой цели производится 2 выстрела. Вероятность попадания при одном выстреле равна 0,7. Составить закон распределения системы случайных величин (X,Y), считая ,что X-число попаданий,а Y-число промахов.

Решение : случайные величины X и Y могут принимать значения 0,1,2. Заметим,что

и

как вероятности невозможных событий. Введём события ={попадание при k-том выстреле},k=1,2.

X Y
			0,49
		0,42
	0,09

7.2. Система дискретных случайных величин (X,Y) имеет закон распределения :

X Y
-2	0,1	0,05	0,2
	0,1	0,1	0,2
	0,1	0,05	0,1

Найти : а) законы распределения составляющих X и Y;б) условный закон распределения составляющей X,при условии,что Y приняла значение ;в) условный закон распределения составляющей Y при условии,что X приняла значение ;г) функции распределения составляющих X и Y;д) условные функции распределения составляющих и .

Решение :

a)

Аналогично находим и

X					Y	-2
p	0,3	0,2	0,5		p	0,35	0,4	0,25

Аналогично находим и

б) ; ;

X

в)

Y	-2

г)

д)

7.3.Даны ряды распределения составляющих X и Y системы независимых дискретных случайных величин. Найти : а) закон распределения ;б) функции распределения составляющих ;в) функцию распределения системы :

						-2
	0,3	0,2	0,5			0,35	0,4	0,25

Решение :

а) применяя теорему умножения для независимых событий, получим

и т.д.

X Y
-2	0,105	0,07	0,175
	0,12	0,08	0,2
	0,075	0,05	0,125

б)

для системы независимых случайных величин X и Y

:

X Y

7.4. Распределение вероятностей случайной величины задано таблицей

X Y	-1
	0,1	0,3	0,1
	0,2
		0,1	0,2

Определить математические ожидания и корреляционную матрицу данных величин, коэффициент корреляции. Зависимы ли X и Y ?

Решение:

,следовательно X и Y коррелированы. . X и Y зависимы , т.к. из коррелированности следует зависимость.

7.5. Имеется урна с 3 белыми и 3 чёрными шарами. Производится последовательное извлечение шаров (без возвращения ) до первого появления белого шара,X-число извлечённых шаров. Далее извлечение продолжается до первого появления чёрного шара :

Y-число шаров,извлечённых во второй серии. а) Требуется составить закон распределения . б) Описать законы распределения отдельных случайных компонент X и Y. в) Описать условный закон распределения случайной величины X при условии Y=2 и при этом условии вычислить условное математическое ожидание . г) Вычислить основные характеристики случайного вектора : .д) Найти функцию распределения составляющей X и условную функцию распределения .

Решение : Для описания закона распределения дискретного случайного вектора необходимо определить множество всех возможных пар значений и соответствующие вероятности. Результат удобно представить в виде следующей таблицы :

X Y

а) Применяя теорему умножения для зависимых событий,получим ;

, ; ; ; , ; как вероятности невозможных событий.

б) ,аналогично найдём

в) Условный закон распределения случайной компоненты X при условии,что компонента Y приняла значение равное 2,находим по формуле ,результат оформим в виде таблицы

	1/2	1/3	1/6

при этом математическое ожидание

г) искомые характеристики вычислим по известным формулам , аналогично ,

д)

7.6. Задана дифференциальная функция системы случайных величин : .

Найти A.

Решение : А найдём из свойства ,что ,

,

7.7. Задана интегральная функция двумерной случайной величины

Найти дифференциальную функцию системы (X,Y) и вероятность попадания случайной точки в область D: .

Решение:

7.8. Дана дифференциальная функция системы двух случайных величин

Найти параметр А и интегральную функцию системы F(x,y).

Решение:

1)x<0 или y<0

2)

7.9.Дана дифференциальная функция системы двух случайных величин (X,Y)

Доказать, что составляющие X и Y независимы.

Решение:

Найдем дифференциальную функцию составляющей Х

при

аналогично

при

Найдем условные дифференциальные функции составляющих:

при

при

X и Y независимы, т.к. ,

7.10. Система двух непрерывных случайных величин X и Y, равномерно распределена внутри прямоугольного треугольника Д с вершинами О (0,0), А (0,8), В (8,0).

Найти: а) дифференциальную функцию системы;

б) дифференциальные и условные дифференциальные функции составляющих; в) зависимы ли X и Y?

Решение:

X и Y зависимы.

7.11. Случайная точка (X,Y) распределена с постоянной плотностью внутри квадрата R

Написать выражение плотности распределения f(x,y), плотностей распределения отдельных величин X,Y , входящих в систему; условных плотностей и . Зависимы или независимы случайные величины X,Y?

Решение: площадь квадрата равна 2 ( диагональ =2),поэтому

т.е.

аналогично

X и Y зависимы.

7.12. Коэффициенты и квадратного уравнения наудачу и независимо друг от друга выбираются из отрезка [0;2]. Найти вероятность того, что корни этого уравнения окажутся действительными.

Решение:

Слово “наудачу” означает, что каждая из случайных величин и имеет равномерное распределение на [0;2].

Случайные величины и независимы, поэтому

Корни действительны тогда и только тогда, когда дискриминант , т.е. .

Неравенство выполняется для точек квадрата D, принадлежащих областям и .

7.13. Найти числовые характеристики и построить корреляционную матрицу для системы двух случайных величин (X,Y), заданную плотностью вероятностей

Решение:

7.14. Задана дифференциальная функция системы двух случайных

величин (X,Y)

Найти , интегральную функцию системы F(x,y), P(0<X<2, -1<Y<2), числовые характеристики , , ; плотности распределения составляющих; условные плотности распределения .

Решение: найдем из свойства дифференциальной функции

a) x<0 или y<0

б) 0£x£3, 0£y£3

в) 0£x£3, y>3

г) x>3, 0£y£3

д) x>3, y>3

Итак,

7.15. В первом ящике 6 шаров, во втором также 6 шаров.

1 ящик: 1 шар с №1, 2 шара с №2, 3 шара с №3. 2 ящик: 2 шара с №1, 3 шара с №2, 1 шар с №3. Пусть Х - номер шара, вынутого из 1 ящика, Y - номер шара, вынутого из 2 ящика. Из каждого ящика вынули по шару. Составить таблицу закона распределения системы случайных величин (X,Y).

Ответ:

X Y
	1	1	1
	1	1	1
	1	1	1

7.16.Задано распределение вероятностей дискретной двумерной случайной величины: