Линии в полярной системе координат

Полярные координаты

, .

Связь полярных координат с декартовыми

M(x,y) и M( ,j):

Окружности

а=const >0.

, а=const >0.

Спирали

Архимедова спираль: =аj, .

Гиперболическая спираль: , a > 0.

Логарифмическая спираль: .

Розы

Двухлепестковые розы: .

Четырехлепестковые розы a > 0

Трёхлепестковые розы:

Лемниската Бернулли

Вершины кривой находятся в точках

Площадь каждой петли S=a².

Кардиоида

В полярных координатах

Вершина кардиоиды находится в точке А(2а,0).

Укажем, что площадь кардиоиды , а длина L=8a.

Параметрическое задание линий

Окружность

- параметрические уравнения окружности.

Исключим из параметрических уравнений параметр t. Для этого возведём эти уравнения в квадрат и сложим их:

.

Циклоида

где .

При получаем первую арку циклоиды. Укажем, что длина дуги ОА₁О₁=8а, а площадь одной арки S=3 a².

Астроида

где

В декартовых координатах уравнение астроиды

x^2/3+y^2/3=R^2/3.

Длина астроиды L=6R, а площадь, ограниченная астроидой S=3pR²/8.

IV. Поверхности второго порядка

Эллипсоид

.

Гиперболоиды

Однополостный гиперболоид

.

Двуполостный гиперболоид

.

Параболоиды

Эллиптический параболоид

Гиперболический параболоид

Конус

.

Цилиндры

Эллиптический цилиндр

.

Гиперболический цилиндр

.

Параболический цилиндр

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Ильин В.А. Аналитическая геометрия / В.А.Ильин, Э.Г.Позняк.
М.: Наука, ГФМЛ, 1988.

2. Бугров Е.С. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии /
Е.С. Бугров, С.М. Никольский. М.: Наука, 1984.

3. Бугров Е.С. Высшая математика: Задачник / Е.С. Бугров, С.М. Никольский. М.: Наука, 1982.

4. Сборник задач по математике для втузов: В 4 ч. Ч. 1: Векторная алгебра и аналитическая геометрия. Определители и матрицы системы линейных уравнений. Линейная алгебра. Основы общей алгебры / А. В. Ефимов, А. Ф. Каракулин, И. Б. Кожухов и др. / Под ред. А. В. Ефимова, А. С. Поспелова. - 4-е изд., перераб. и доп. - М.: Физматлит, 2003. - 288 с.: ил.; 21 см. - ISBN 5-940520-34-0.

5. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры /
Д.В.Беклемишев. М.: Наука, 1984.

6. Наумов В.А. Руководство к решению задач по линейной алгебре и аналитической геометрии / В.А.Наумов. М.: Наука, 1993.

7. Фадеев Д.К. Сборник задач по высшей алгебре / Д.К. Фадеев, Н.С. Соминский. М.: Наука, 1997.

8. Беклемишева Л.А. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре / Л.А. Беклемишева, А.Ю. Петрович, И.А. Чубаров. М.: Наука, 1987.

9. Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике / Л.А. Кузнецов М.: Высшая школа, 1994.

10. Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике / В.П. Минорский. М.: Физматгиз, 1961.

11. Клетенник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии /
Д.В. Клетенник. М.: Наука, 1986.

12. Цубербиллер О.Н. Задачи и упражнения по аналитической геометрии /
О.Н. Цубербиллер. М.: Наука, 1970.

13. Косторкин А.И. Линейная алгебраическая геометрия / А.И. Косторкин,
Ю.И. Манин. М.: Наука, 1986.

14. Бахвалов С.Б. Сборник задач по аналитической геометрии /
С.Б. Бахвалов, П.С. Моденов, А.С. Пархоменко. М.: Наука, 1964.

Учебное пособие

Соболев Александр Борисович

Вигура Марина Александровна

Рыбалко Александр Федорович

Рыбалко Наталья Михайловна

Трояновская Людмила Юрьевна

Кассандров Игорь Николаевич

Дисциплина: ЕН.Ф.01 Математика. алгебра и геометрия

Модуль 2: Векторная алгебра. Геометрия: аналитическая геометрия в пространстве, на плоскости, кривые второго порядка, поверхности.

Редактор Н.П.Кубыщенко

Подписано в печать Формат 60x84 1/16

Бумага писчая Плоская печать Усл.печ.л. 3,13

Уч.-изд.л. 2,6 Тираж Заказ Цена “C”

Редакционно-издательский отдел ГОУ ВПО УГТУ–УПИ

620002, Екатеринбург, ул. Мира, 19

ООО «Издательство УМЦ УПИ»620002, Екатеринбург, ул. Мира, 17