Вопрос №1. Электрическое смещение. Поток смещения.

Лекция № 4

Расчет полей заданных электрических зарядов

План лекции:

1. Электрическое смещение. Поток смещения.

2. Теорема Гаусса для электрического поля в диэлектрике.

3. Расчет поля равномерно заряженных бесконечных плоскостей.

4. Напряженность и потенциал поля равномерно заряженной сферической поверхности.

5. Напряженность и потенциал поля объемно заряженного шара.

6. Напряженность и потенциал заряженных цилиндра, бесконечной прямой нити.

Вопрос №1. Электрическое смещение. Поток смещения.

Для описания электростатического поля используют его силовую характеристику — напряженность поля Е. Эта величи­на зависит от свойств среды, которые определяются диэлектрической проницаемо­стью е в выражении:

.

В диэлектрической среде напряженность поля определя­ется как свободными, так и связанными зарядами.

Связанными зарядами называются заряды, которые входят в состав атомов и молекул, а также заряды ионов в кристалли­ческих диэлектриках с ионной решеткой. Свободные заряды— это заряды частиц, способных перемещаться под действием электрического поля на макроскопические расстояния (электроны проводимости в металлах и полупроводниках, электроны в ва­кууме, ионы в электролитах и ионизированных газах). К свободным относятся также избыточные заряды, сообщаемые телу и нарушающие его электростатическую ней­тральность (например, заряды, нанесенные извне на поверхность диэлектрика).

Чтобы при описании поля в изотропной среде (диэлектрике) скомпенсировать влияние этой среды на напряженность Е (Е = Ео / ε), вводят дополнительную характе­ристику поля, называемую электрическим смещением (прежнее название — элек­трическая индукция):

(1.1)

В случае точечного заряда проекция вектора на направ­ление радиус-вектора определяется по формуле

(1.2)

откуда следует

Из выражения (1.2) видно, что электрическое смещение не зависит от электриче­ской проницаемости εсреды и определяется только свободным зарядом q. Оно измеряется в тех же единицах, что и поверхностная плотность σ заряда, т.е. [D] = 1 Кл/1 м².

Рис 1.

Элек­трическое смещение в определенной небольшой области пространства можно измерить с помощью «пластинок Ми», которые представляют собой обкладки плоского конден­сатора. Если расположить эти пластинки на некотором расстоянии rот точечного заряда qи сориентировать так, чтобы их плоскость была перпендикулярна вектору (рис. 1.), то плотность зарядаσ, индуцированного на одной из пластинок, будет численно равна электрическому смещению D, создаваемому зарядом q в точке М.

Из выражения (1.2) видно, что электрическое смещение фактически характери­зует интенсивность поля, создаваемого только свободными зарядами. Так же как и на­пряженность Е, электрическое смещение D удовлетворяет принципу суперпозиции.

Аналогично вводят линии электрического смещения, направление и густота которых удовлетворяют тем же правилам, которые справедливы для линий напряженности.

Для расчета электростатических полей большое значение имеет поток электриче­ского смещения Ф, который вводится следующим образом.

Рис. 2.

Пусть имеется небольшая произвольно ориентированная поверхность ΔS, расположенная в электрическом поле (рис. 2).

(1.3)

Разобьем ее произвольным образом на элементарные площадки dS, к каждой из которых проведем вектор нормали . Тогда элементарным потоком вектора смеще­ния , пронизывающим площадку dS, называется величина dФ = D · ndS = DdS ·cos a = = D_n·dS, a значение потока через всю поверхность dS получим интегрированием:

В дальнейшем для расчета характеристик поля, т.е. смещения D и напряженности Е, нам понадобится поток D сквозь замкнутую поверхность S в направлении внешней нормали к этой поверхности:

- определение потока вектора D.