Ауыстыру және алмастыру

, мұндағы , қайтымды бейнелеуі дәрежелі ауыстыру (кейде сондай-ақ алмастыру) деп аталады. ауыстыруын бегілеу үшін көбінесе

кестесі қолданылады, мұнда сандары сандарының ауыстыруын құрады (бұл бейнелеуінің қайтымдылығымен пара-пар).

ауыстыруының көбейтіндісін бейнелеулерінің тізбектей орындалуымен (композициямен) алынатын бейнелеу ретінде анықтайық:

Бұл барлық дәрежелі ауыстырулар жиынындағы алгебралық амал болып табылады, осыған қатысты ол группа құрайды. Ассоциативтілігі айқын (бейнелеудің композициясы бұл қасиетке әрқашанда ие болады). Мұнда бірлік элементтің рөлін

теңбе-тең бейнелеуі атқарады, ал элементіне кері элемент кері бейнелеуі болады.

дәрежелі ауыстырулар группасы дәрежелі симметриялық группа деп аталады және деп белгіленеді. Бұл ақырлы группалардың (элементтер саны ақырлы болатын группалар; сонымен қатар элементтер саны группаның реті деп аталады) ең маңызды мысалдарының бірі. группасының реті тең болады.

Симметриялық группа түсінігі симметриялық функциялар түсінігінің анықтамасынан шыққан. Симметриялық функция деп өзінің аргументінің кез келген ауыстыруына қатысты инвариантты болатын функциясын айтады:

Симметриялық функцияға мысалы мынадай ( сандық параметрімен анықталатын) функция жатады:

3.3 Циклдар және транспозициялар (орын ауыстырулар)

Егер

(1)

(2)

болатындай қос-қостан әр түрлі нөмірлері бар болса, онда ауыстыруы ұзындығы -ға тең цикл деп аталады.

циклын деп белгілейді. Ұзындығы 2-ге тең цикл транспозиция (орын ауыстыру) деп аталады.

және циклдары тәуелсіз деп аталады, егер болса.

Қасиеттері.

(1) Кез келген тәуелсіз циклдары коммутативті: ;

(2) Кез келген ауыстыруы тәуелсіз циклдардың көбейтіндісі түріне көбейткіштердің ретіне дейінгі дәлдікпен бірмәнді келтірімді.

(3) Ұзындығы -ға тең кез келген цикл транспозиция түріне келтірімді.

(4) Кез келген ауыстыру транспозициялардың көбейтіндісі түріне келтірімді.

Дәлелдеу. (1) тұжырымды дәлелдеу үшін және тәуелсіз циклдар жағдайында мынаны табамыз:

, болғанда,

, болғанда,

, болғанда.

(2)-ні дәлелдеу үшін кез келген нөмірін алып, нөмірлер тізбегін қарастырайық. Тек қана әр түрлі мәндер бар, сондықтан да қандай да бір үшін болу керек, бұдан аламыз. Айталық, - болатындай ең кіші нөмір болсын. Онда мынадай цикл аламыз:

ал бұған болғанда болады. Енді болсын, онда

түріндегі түрлендіру орындалатын циклын құрамыз. Осылай жалғастыра берсек, нәтижесінде мынадай теңбе-тең ауыстыруға келеміз:

бұдан

циклдары құрылуы бойынша тәуелсіз.

(3)-ші тұжырым тексеру арқылы дәлелденеді, мысалы

.

(4)-ші тұжырым (2) мен (3)-тен шығады.