Интегралдаудың негізгі әдістері. Айнымалыны ауыстыру әдісімен интегралдау. Бөліктеп интегралдау әдісі

Берілген интегралды интегралдау әдістері интеграл астындағы функцияның берілуіне және интегралдар кестесінің қорына байланысты бірнеше түрге бөлінеді: 1) тікелей интегралдау;

2) айнымалыны ауыстыру арқылы интегралдау; 3) бөліктеп интегралдау. Осы тәсілдердің әрқайсысына жеке-жеке тоқталайық.

1. Тікелей интегралдау. Көптеген функцияларды анықталмаған интегралдың қасиеттері мен интегралдар кестесіне сүйеніп тікелей интегралдауға болады. Тікелей интегралдау тәсіліне бірнеше мысалдар келтірейік.

Мысал – 1. Интегралдаудың негізгі әдістері. Айнымалыны ауыстыру әдісімен интегралдау. Бөліктеп интегралдау әдісі - student2.ru интегралын есептеу керек.

Шешу. Интегралдаудың негізгі әдістері. Айнымалыны ауыстыру әдісімен интегралдау. Бөліктеп интегралдау әдісі - student2.ru болған жағдайда 3 формуланы қолданамыз:

Интегралдаудың негізгі әдістері. Айнымалыны ауыстыру әдісімен интегралдау. Бөліктеп интегралдау әдісі - student2.ru .

Мысал-2. Интегралдаудың негізгі әдістері. Айнымалыны ауыстыру әдісімен интегралдау. Бөліктеп интегралдау әдісі - student2.ru интегралын табу керек.

Шешу. Интегралдаудың негізгі әдістері. Айнымалыны ауыстыру әдісімен интегралдау. Бөліктеп интегралдау әдісі - student2.ru . Тұрақты 3-ті интеграл белгісінің алдына шығарып, сонан кейін 3 формуланы Интегралдаудың негізгі әдістері. Айнымалыны ауыстыру әдісімен интегралдау. Бөліктеп интегралдау әдісі - student2.ru болған жағдай үшін қолдансақ, мынау шығады:

Интегралдаудың негізгі әдістері. Айнымалыны ауыстыру әдісімен интегралдау. Бөліктеп интегралдау әдісі - student2.ru .

2. Айнымалыны ауыстыру әдісімен интегралдау.

Көп жағдайларда интегралдағы х айнымалысының орнына басқа Интегралдаудың негізгі әдістері. Айнымалыны ауыстыру әдісімен интегралдау. Бөліктеп интегралдау әдісі - student2.ru айнымалысын енгізіп, берілген Интегралдаудың негізгі әдістері. Айнымалыны ауыстыру әдісімен интегралдау. Бөліктеп интегралдау әдісі - student2.ru интегралын тікелей интегралданатын жаңа интегралдарға немесе кестелік интегралдардың біріне оңай келтіруге болады.

Теорема. Анықталмаған Интегралдаудың негізгі әдістері. Айнымалыны ауыстыру әдісімен интегралдау. Бөліктеп интегралдау әдісі - student2.ru интегралындағы х айнымалысының орнына Интегралдаудың негізгі әдістері. Айнымалыны ауыстыру әдісімен интегралдау. Бөліктеп интегралдау әдісі - student2.ru формуласы бойынша жаңа Интегралдаудың негізгі әдістері. Айнымалыны ауыстыру әдісімен интегралдау. Бөліктеп интегралдау әдісі - student2.ru айнымалысын енгізейік (мұндағы Интегралдаудың негізгі әдістері. Айнымалыны ауыстыру әдісімен интегралдау. Бөліктеп интегралдау әдісі - student2.ru аргументінің бірсарынды, үзіліссіз және дифференциалданатын функциясы). Сонда берілген анықталмаған интеграл үшін

Интегралдаудың негізгі әдістері. Айнымалыны ауыстыру әдісімен интегралдау. Бөліктеп интегралдау әдісі - student2.ru (2)

теңдігі орындалады. Осы интеграл Интегралдаудың негізгі әдістері. Айнымалыны ауыстыру әдісімен интегралдау. Бөліктеп интегралдау әдісі - student2.ru ауыстыруымен табылған соң, қайтіп х айнымалысына оралу қажет.

Дәлелдемесі. (1) теңдікті дәлелдеу үшін оның екі жағын да дифференциалдаймыз. Сонда оның сол жағының дифференциалы Интегралдаудың негізгі әдістері. Айнымалыны ауыстыру әдісімен интегралдау. Бөліктеп интегралдау әдісі - student2.ru , ал енді теореманың шартын ескерсек, онда оң жағының дифференциалы

Интегралдаудың негізгі әдістері. Айнымалыны ауыстыру әдісімен интегралдау. Бөліктеп интегралдау әдісі - student2.ru

болады, яғни (1) теңдіктің екі жағының да дифференциалдары өзара тең.

Бұл формуланы қолданғаннан кейін Интегралдаудың негізгі әдістері. Айнымалыны ауыстыру әдісімен интегралдау. Бөліктеп интегралдау әдісі - student2.ru -дан х-ке қайта көшу үшін Интегралдаудың негізгі әдістері. Айнымалыны ауыстыру әдісімен интегралдау. Бөліктеп интегралдау әдісі - student2.ru мәнін қою керек.

Айнымалыны алмастыру формуласын қолданып, анықталмаған интегралды екінші жеңілірек есептелетін интегралға келтіруді айнымалыны алмастыру әдісі дейді. Мұндағы Интегралдаудың негізгі әдістері. Айнымалыны ауыстыру әдісімен интегралдау. Бөліктеп интегралдау әдісі - student2.ru функциясын таңдап алудың ешқандай жалпы ережесі жоқ. Мәселенің қиындығы да осында. Бірақ интегралданатын функциялардың (анықталмаған интегралы бар болатын функциялар) кейбір кластары үшін мұндай таңдауды қалай жасау керек екеніне практикада жаттығуға болады.

Ауыстырма әдісінің қолданылуына бірнеше мысал қарастырайық.

Мысал-1. Интегралдаудың негізгі әдістері. Айнымалыны ауыстыру әдісімен интегралдау. Бөліктеп интегралдау әдісі - student2.ru интегралын есептеу керек.

Шешу. Интегралдаудың негізгі әдістері. Айнымалыны ауыстыру әдісімен интегралдау. Бөліктеп интегралдау әдісі - student2.ru деп белгілесек, Интегралдаудың негізгі әдістері. Айнымалыны ауыстыру әдісімен интегралдау. Бөліктеп интегралдау әдісі - student2.ru болады. Сонда Интегралдаудың негізгі әдістері. Айнымалыны ауыстыру әдісімен интегралдау. Бөліктеп интегралдау әдісі - student2.ru болады. Енді әуелгі айнымалы х-ке қайтадан оралсақ, Интегралдаудың негізгі әдістері. Айнымалыны ауыстыру әдісімен интегралдау. Бөліктеп интегралдау әдісі - student2.ru болып шығады.

Мысал-2. Интегралдаудың негізгі әдістері. Айнымалыны ауыстыру әдісімен интегралдау. Бөліктеп интегралдау әдісі - student2.ru интегралын табу керек.

Шешу. Түбірден құтылу үшін Интегралдаудың негізгі әдістері. Айнымалыны ауыстыру әдісімен интегралдау. Бөліктеп интегралдау әдісі - student2.ru деп белгілеп теңдіктің екі жағын да квадраттаймыз: Интегралдаудың негізгі әдістері. Айнымалыны ауыстыру әдісімен интегралдау. Бөліктеп интегралдау әдісі - student2.ru . Демек,

Интегралдаудың негізгі әдістері. Айнымалыны ауыстыру әдісімен интегралдау. Бөліктеп интегралдау әдісі - student2.ru

болады.

Енді айнымалы х-ке қайта оралсақ,

Интегралдаудың негізгі әдістері. Айнымалыны ауыстыру әдісімен интегралдау. Бөліктеп интегралдау әдісі - student2.ru

болып шығады.

Мысал-3. Интегралдаудың негізгі әдістері. Айнымалыны ауыстыру әдісімен интегралдау. Бөліктеп интегралдау әдісі - student2.ru интегралын табу керек.

Айнымалы х-ті былай ауыстырайық:

Интегралдаудың негізгі әдістері. Айнымалыны ауыстыру әдісімен интегралдау. Бөліктеп интегралдау әдісі - student2.ru ,

бұл арадан Интегралдаудың негізгі әдістері. Айнымалыны ауыстыру әдісімен интегралдау. Бөліктеп интегралдау әдісі - student2.ru . Енді

Интегралдаудың негізгі әдістері. Айнымалыны ауыстыру әдісімен интегралдау. Бөліктеп интегралдау әдісі - student2.ru

Интегралдаудың негізгі әдістері. Айнымалыны ауыстыру әдісімен интегралдау. Бөліктеп интегралдау әдісі - student2.ru

Интегралдаудың негізгі әдістері. Айнымалыны ауыстыру әдісімен интегралдау. Бөліктеп интегралдау әдісі - student2.ru

қайтадан бұрынғы айнымалы х-ке көшсек, онда

Интегралдаудың негізгі әдістері. Айнымалыны ауыстыру әдісімен интегралдау. Бөліктеп интегралдау әдісі - student2.ru . (3)

Осы шыққан формуланы да таблицалық интегралдарға қосуға болады.

2. Енді бөліктеп интегралдау әдісін қарайық.

Дифференциалдары үздіксіз Интегралдаудың негізгі әдістері. Айнымалыны ауыстыру әдісімен интегралдау. Бөліктеп интегралдау әдісі - student2.ru және Интегралдаудың негізгі әдістері. Айнымалыны ауыстыру әдісімен интегралдау. Бөліктеп интегралдау әдісі - student2.ru функциялары берілсін. Осы екі функция көбейтіндісінің дифференциалы

Интегралдаудың негізгі әдістері. Айнымалыны ауыстыру әдісімен интегралдау. Бөліктеп интегралдау әдісі - student2.ru

болады. Бұдан Интегралдаудың негізгі әдістері. Айнымалыны ауыстыру әдісімен интегралдау. Бөліктеп интегралдау әдісі - student2.ru . Осы теңдіктің екі жағынан интеграл алсақ Интегралдаудың негізгі әдістері. Айнымалыны ауыстыру әдісімен интегралдау. Бөліктеп интегралдау әдісі - student2.ru .

Егер еркін тұрақты С-ны Интегралдаудың негізгі әдістері. Айнымалыны ауыстыру әдісімен интегралдау. Бөліктеп интегралдау әдісі - student2.ru интегралына енгізсек, онда

Интегралдаудың негізгі әдістері. Айнымалыны ауыстыру әдісімен интегралдау. Бөліктеп интегралдау әдісі - student2.ru (4)

теңдігі шығады. Бұл теңдікті бөліктеп интегралдау формуласы дейді. Формуланы қолдану үшін берілген интегралдың астындағы Интегралдаудың негізгі әдістері. Айнымалыны ауыстыру әдісімен интегралдау. Бөліктеп интегралдау әдісі - student2.ru шамасын Интегралдаудың негізгі әдістері. Айнымалыны ауыстыру әдісімен интегралдау. Бөліктеп интегралдау әдісі - student2.ru және Интегралдаудың негізгі әдістері. Айнымалыны ауыстыру әдісімен интегралдау. Бөліктеп интегралдау әдісі - student2.ru деген екі көбейткішке жіктеу керек. Сонда формула Интегралдаудың негізгі әдістері. Айнымалыны ауыстыру әдісімен интегралдау. Бөліктеп интегралдау әдісі - student2.ru интегралын алуды Интегралдаудың негізгі әдістері. Айнымалыны ауыстыру әдісімен интегралдау. Бөліктеп интегралдау әдісі - student2.ru интегралын алуға келтіреді. Сондықтан бұл формула Интегралдаудың негізгі әдістері. Айнымалыны ауыстыру әдісімен интегралдау. Бөліктеп интегралдау әдісі - student2.ru интегралынан Интегралдаудың негізгі әдістері. Айнымалыны ауыстыру әдісімен интегралдау. Бөліктеп интегралдау әдісі - student2.ru интегралын есептеп шығару жеңіл болғанда ғана қолданылады. Берілген интеграл астындағы шаманы екі көбейткішке жіктеудің жалпы ережесі жоқ. Оған тек ойлампаздық пен бай тәжірибенің арқасында жетуге болады.

Тек қана интеграл астындағы шаманы екі көбейткішке жіктегенде Интегралдаудың негізгі әдістері. Айнымалыны ауыстыру әдісімен интегралдау. Бөліктеп интегралдау әдісі - student2.ru -ның құрамында Интегралдаудың негізгі әдістері. Айнымалыны ауыстыру әдісімен интегралдау. Бөліктеп интегралдау әдісі - student2.ru бар болуы шарт. Қандай жағдай болса да, интеграл астындағы өрнекті көбейткіштерге жіктеуде көбейткіш Интегралдаудың негізгі әдістері. Айнымалыны ауыстыру әдісімен интегралдау. Бөліктеп интегралдау әдісі - student2.ru -ды дифференциалдау, көбейткіш Интегралдаудың негізгі әдістері. Айнымалыны ауыстыру әдісімен интегралдау. Бөліктеп интегралдау әдісі - student2.ru -ны интегралдау нәтижесінде (2) формуланың оң жағындағы интегралдың интегралдануы жеңілденетіндей болуы ескерілуі қажет. Интегралды осы формуламен есептеп шығаруды бөлектеп интегралдау әдісі дейді.

Көп жағдайларда бөліктеп интегралдау әдісі бойынша Интегралдаудың негізгі әдістері. Айнымалыны ауыстыру әдісімен интегралдау. Бөліктеп интегралдау әдісі - student2.ru және Интегралдаудың негізгі әдістері. Айнымалыны ауыстыру әдісімен интегралдау. Бөліктеп интегралдау әдісі - student2.ru көбейткіштерін таңдап аларда төмендегі практикалық мәні бар интегралдарды ескерген жөн:

1) егер Интегралдаудың негізгі әдістері. Айнымалыны ауыстыру әдісімен интегралдау. Бөліктеп интегралдау әдісі - student2.ru болса, онда Интегралдаудың негізгі әдістері. Айнымалыны ауыстыру әдісімен интегралдау. Бөліктеп интегралдау әдісі - student2.ru функциясын Интегралдаудың негізгі әдістері. Айнымалыны ауыстыру әдісімен интегралдау. Бөліктеп интегралдау әдісі - student2.ru , ал қалған Интегралдаудың негізгі әдістері. Айнымалыны ауыстыру әдісімен интегралдау. Бөліктеп интегралдау әдісі - student2.ru өрнектерін Интегралдаудың негізгі әдістері. Айнымалыны ауыстыру әдісімен интегралдау. Бөліктеп интегралдау әдісі - student2.ru деп алу керек;

2) егер Интегралдаудың негізгі әдістері. Айнымалыны ауыстыру әдісімен интегралдау. Бөліктеп интегралдау әдісі - student2.ru болса, онда Интегралдаудың негізгі әдістері. Айнымалыны ауыстыру әдісімен интегралдау. Бөліктеп интегралдау әдісі - student2.ru функцияларын Интегралдаудың негізгі әдістері. Айнымалыны ауыстыру әдісімен интегралдау. Бөліктеп интегралдау әдісі - student2.ru , ал Интегралдаудың негізгі әдістері. Айнымалыны ауыстыру әдісімен интегралдау. Бөліктеп интегралдау әдісі - student2.ru өрнегін Интегралдаудың негізгі әдістері. Айнымалыны ауыстыру әдісімен интегралдау. Бөліктеп интегралдау әдісі - student2.ru десек, берілген интегралдар оңай интегралданады.

3) Интегралдаудың негізгі әдістері. Айнымалыны ауыстыру әдісімен интегралдау. Бөліктеп интегралдау әдісі - student2.ru интегралдары үшін бөліктеп интегралдау әдісі екі рет қолданылады.

Енді осы әдістің қолдануына мысалдар келтірейік.

Мысал-6. Интегралдаудың негізгі әдістері. Айнымалыны ауыстыру әдісімен интегралдау. Бөліктеп интегралдау әдісі - student2.ru интегралын есептеп шығару керек.

Шешу. Бұл мысалда интеграл астындағы өрнектің көбейткіштерге қалай жіктелетіні айқын (жіктелу даяр түрде берілген), яғни Интегралдаудың негізгі әдістері. Айнымалыны ауыстыру әдісімен интегралдау. Бөліктеп интегралдау әдісі - student2.ru былай жіктелінеді. Интегралдаудың негізгі әдістері. Айнымалыны ауыстыру әдісімен интегралдау. Бөліктеп интегралдау әдісі - student2.ru -ді дифференциалдау, Интегралдаудың негізгі әдістері. Айнымалыны ауыстыру әдісімен интегралдау. Бөліктеп интегралдау әдісі - student2.ru -интегралдау нәтижесінде мынаны Интегралдаудың негізгі әдістері. Айнымалыны ауыстыру әдісімен интегралдау. Бөліктеп интегралдау әдісі - student2.ru аламыз.

Жазуды күрделендірмес үшін аралық интегралдаудағы Интегралдаудың негізгі әдістері. Айнымалыны ауыстыру әдісімен интегралдау. Бөліктеп интегралдау әдісі - student2.ru өрнегіндегі тұрақтыны Интегралдаудың негізгі әдістері. Айнымалыны ауыстыру әдісімен интегралдау. Бөліктеп интегралдау әдісі - student2.ru деп есептейміз. Сонда бөліктеп интегралдау формуласына сәйкес:

Интегралдаудың негізгі әдістері. Айнымалыны ауыстыру әдісімен интегралдау. Бөліктеп интегралдау әдісі - student2.ru

Интегралдаудың негізгі әдістері. Айнымалыны ауыстыру әдісімен интегралдау. Бөліктеп интегралдау әдісі - student2.ru

болып шығады.

Мысал-7. Интегралдаудың негізгі әдістері. Айнымалыны ауыстыру әдісімен интегралдау. Бөліктеп интегралдау әдісі - student2.ru интегралын есептеп шығару керек.

Шешу. Алдымен мына интегралды қарайық.

Интегралдаудың негізгі әдістері. Айнымалыны ауыстыру әдісімен интегралдау. Бөліктеп интегралдау әдісі - student2.ru .

Таблицалық интегралды пайдаланамыз. Сонда

Интегралдаудың негізгі әдістері. Айнымалыны ауыстыру әдісімен интегралдау. Бөліктеп интегралдау әдісі - student2.ru . (5)

Осы (5) теңдіктің оң жағында тұрған интегралды жеке алып бөлімшелеп интегралдаймыз:

Интегралдаудың негізгі әдістері. Айнымалыны ауыстыру әдісімен интегралдау. Бөліктеп интегралдау әдісі - student2.ru ;

Интегралдаудың негізгі әдістері. Айнымалыны ауыстыру әдісімен интегралдау. Бөліктеп интегралдау әдісі - student2.ru ;

Интегралдаудың негізгі әдістері. Айнымалыны ауыстыру әдісімен интегралдау. Бөліктеп интегралдау әдісі - student2.ru ;

((3) формулаға сүйенеміз).

Енді (4) формуланы қолданып, мынаны табамыз:

Интегралдаудың негізгі әдістері. Айнымалыны ауыстыру әдісімен интегралдау. Бөліктеп интегралдау әдісі - student2.ru .

Бұдан кейін (5) теңдік мына түрге көшеді:

Интегралдаудың негізгі әдістері. Айнымалыны ауыстыру әдісімен интегралдау. Бөліктеп интегралдау әдісі - student2.ru

немесе

Интегралдаудың негізгі әдістері. Айнымалыны ауыстыру әдісімен интегралдау. Бөліктеп интегралдау әдісі - student2.ru ,

бұл арадан

Интегралдаудың негізгі әдістері. Айнымалыны ауыстыру әдісімен интегралдау. Бөліктеп интегралдау әдісі - student2.ru .

Наши рекомендации