Методические указания 3 страница

Таблица2.17

Исследование резонанса

Начальная фаза j, град	Модуль сопротивления Z, Ом	Частота генератора f, Гц
–60
–30

2.6.4. Контрольные вопросы

1) Указать назначение электронного прибора ВМ507. Какие характеристики можно определить при помощи прямых измерений?

2) Провести анализ структурной схемы и временной диаграммы для измерения угла сдвига фаз ( см. рис. 2.17 и 2.18).

3) Провести анализ измеренных значений и графика в опыте исследования резонанса напряжения при помощи прибора ВМ507.

4) Объяснить, почему для практических измерений выбирается частота, кратная 1,592. Объяснить, как пользоваться таблицей для прямых измерений
L и С (см. табл. 2.14 и 2.15).

3. ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЯ

3.1. Основные сведения из теории

Для ответа на вопросы "как обрабатывать измерительную информацию?", "что получили?" рассмотрим методы обработки результатов наблюдения с целью получения результата измерения.

Результат наблюдения (РН) – значение измеряемой величины, получаемое при отдельном наблюдении, или показание измерительного прибора.

Под результатом измерения (РИ) понимается совокупность трех
значений:

- измеряемой величины ;

- погрешности ;

- доверительной вероятности , т. е. РИ = .

Определение значения измеряемой величины зависит от способов измерения. При однократном наблюдении в качестве результата измерения имеется одно число x₁, которое и принимается за значение измеряемой величины . При многократных равноточных наблюдениях значение измеряемой величины может быть найдено по формуле:

, (3.1)

где х_i – результаты отдельных наблюдений;

n – количество наблюдений.

Величина содержит в себе как минимум три характеристики:

D_c – систематическая погрешность;

u – неисключенные остатки систематической погрешности;

– случайная погрешность (в случае многократных наблюдений).

Задача по определению связана с априорным назначением точности измерения.

3.1.1. Представление о погрешностях измерения

Любое измерение всегда ограничено по точности из-за несовершенства методов и средств измерения, влияния средств измерения на объект и т. д., поэтому всякий результат наблюдения является смещенным. Для оценки погрешности пользуются понятием абсолютной погрешности (D) – разности между реальной и номинальными характеристиками или значениями.

Абсолютная погрешность, взятая с обратным знаком, называется
поправкой:

. (3.2)

Сама по себе абсолютная погрешность не может служить показателем точности измерения, так как одно и тоже значение, например, D = 0,05 мм, при
х = 100 мм соответствует достаточно высокой точности, а при х = 1 мм – низкой, поэтому для характеристики результатов измерения вводят понятие относительной погрешности

, (3.3)

где х₀ - номинальное значение измеряемой величины.

Относительная погрешность выражается в относительных единицах или процентах. Для нормирования погрешности средств измерения используется приведенная погрешность

, (3.4)

где х_к – предел измерения прибора.

Ее основное отличие от относительной погрешности состоит в том, что D относится не к текущей переменной величине х, а к постоянной величине –
номинальному значению.

3.1.2. Систематическая погрешность

Систематическая погрешность D_с характеризует степень близости полученного значения измеряемой величины к тому значению, которое может быть получено с максимально возможной точностью. Это проявляется в том, что всякий полученный результат наблюдения оказывается смещенным относительно точного результата.

Задача по исследованию и определению систематической погрешности является одной из самых сложных, поскольку не всегда ее можно обнаружить и исключить. В случае обнаружения систематической погрешности возможно ее вычисление и внесение поправки в результат наблюдения. Другой способ учета систематической погрешности – устранение ее схемотехнически или выбор другого метода измерения.

Рассмотрим пример исключения D_с при проведении эксперимента, например, взвешивание на рычажных весах, т.е. определение массы тела m_т. Одной из причин появления D_с является разная длина плеч весов (l₁ » l₂). Если поместить m_т на левую чашку весов (рис. 3.1), то можно записать:

m_тl₁g = m₁l₂g, (3.5)

где g – ускорение свободного падения;

m₁ – масса гири.

Затем тело помещают на правую чашку весов (рис. 3.2) и уравновешивают гирей, которая имеет массу m₂. Массы m₁ и m₂ не равны из-за разности длин плеч весов и, следовательно, наличия D_с. Итогом второго взвешивания становится следующее уравнение:

m₂l₁g = m_тl₂ g . (3.6)

Рис. 3.1. Исходное измерение Рис. 3.2. Измерение с противопоставлением для устранения систематической для устранения систематической

погрешности погрешности

Взяв отношение выражений (3.5) и (3.6), получим:

, (3.7)

откуда

. (3.8)

В формуле (3.8) отсутствуют длины плеч весов, которые создают систематическую погрешность.

3.1.3. Оценка результирующей систематической погрешности и
внесение поправок

После анализа схемы измерения и вычисления систематических погрешностей имеется ряд значений D_сj, j = 1¸k. Каждая из D_сj имеет свою природу возникновения, а также свои значение и знак. Результирующая систематическая погрешность вычисляется по формуле:

, (3.9)

где k – количество вычисленных неисключенных погрешностей.

Затем вычисляют поправку

. (3.10)

Если , т. е. не зависит от времени, то ее можно внести в
среднее значение:

. (3.11)

В случае, когда является функцией времени, поправку вводят в каждый результат наблюдения:

, (3.12)

а затем определяют

. (3.13)

Внеся поправку в результат наблюдения, получают несмещенное значение измеряемой величины, которое является неокончательным, поскольку еще не учтены погрешности приборов и модельные составляющие погрешности измерения (погрешности сопротивления, емкости, индуктивности, температуры, источников питания и т. д.), т. е. все то, что относится к неисключенным остаткам систематической погрешности.

3.1.4. Неисключенные остатки систематической погрешности

Неисключенные остатки (НО) систематической погрешности (u) – это та ее часть, которая остается после оценки и устранения этой погрешности
(рис. 3.3).

Рис. 3.3. Смещенный интервал неисключенных остатков

Исследование неисключенных остатков u предполагает выполнение следующей работы:

- анализ источников возникновения;

- оценка u_i (i = 1, 2, ..., k) по каждому источнику возникновения;

- оценка результирующей составляющей неисключенных остатков систематической погрешности.

Особенность исследования неисключенных остатков, представляющих собой составляющую систематической погрешности, заключается в том, что значения u_i недетерминированы, т. е. представляют собой случайную величину, которую можно охарактеризовать средним квадратическим отклонением (СКО).

Тогда u_рез соответствует свое результирующее СКО :

, (3.14)

где b_i – функция влияния u_i на конечный результат.

Если влияние компонентов на конечный результат неизвестно, то вводится гипотеза об одинаковом влиянии каждого компонента (b_i = 1).

В том случае, когда закон изменения каждого компонента неизвестен и нет возможности определить хотя бы его вид, вводится гипотеза о том, что отдельные компоненты неисключенных остатков распределены равномерно. Реализация этой гипотезы позволяет для каждого u_i выбрать границы Q_i,
для u_рез – Q_рез:

, (3.15)

где k – поправочный коэффициент, зависящий от числа компонентов и доверительной вероятности.

Зависимость k от числа компонентов слабая. Значение коэффициента k при доверительной вероятности Р приведены в табл. 3.1.

Таблица 3.1

Значения коэффициента k в зависимости от числа слагаемых и
доверительной вероятности P

Число слагаемых n	Значение погрешности k при доверительной вероятности Р
0,9	0,95	0,99	0,9973
	0,97	1,10	1,27	1,34
	0,96	1,12	1,37	1,50
	0,96	1,12	1,41	1,58
	0,96	1,12	1,42	1,61
	0,96	1,12	1,42	1,64
…	…	…	…	…
¥	0,95	1,13	1,49	1,73

Результат измерения при доверительной вероятности Р записывается в следующем виде:

. (3.16)

3.1.5. Пример обработки результата наблюдения
при однократном измерении

Производится измерение напряжения на сопротивлении. Известно:
R = (50 ± 1) Ом, вольтметр с внутренним сопротивлением R_v = 5 кОм, с относительной погрешностью внутреннего сопротивления d_i = 0,5 %. Верхний предел вольтметра V_верх = 15 В, класс точности d = 1 %, шкала равномерная, число делений 150. Вольтметр показал значение U_v = 12,3 В. Необходимо
записать результат измерения.

Вариант 1

Погрешность может быть найдена из формулы класса точности
прибора

%; (3.17)

В.

Выбирая Р = 0,95, можно записать результат измерения:

В при Р = 0,95.

Результат смещен, поскольку не учитывалась методическая систематическая погрешность, обусловленная шунтированием сопротивления R сопротивлением вольтметра R_v.

Вариант 2

Оценим D_с для внесения
поправки. Предполагая, что ток через R остается неизменным до и после включения вольтметра, можно определить D_с:

, (3.18)

где U = IR – истинное значение

Рис. 3.4. Измерение напряжения напряжения на R,

на резисторе и определение НО

. (3.19)

Подставив U и V в формулу для D_с , получим:

. (3.20)

Значение I неизвестно, поэтому от абсолютных значений перейдем к относительным, т. е. вычислим относительную методическую погрешность

, (3.21)

относительная погрешность не зависит от показаний приборов, а также от значения тока и напряжения в схеме. Она зависит только от соотношения сопротивлений.

Зная d_с , найдем D_с и, следовательно, поправку Ñ_с:

(3.22)

В.

Значение поправки вносится в результат наблюдения и получается несмещенное значение измеряемого напряжения

; (3.23)

В.

Далее определяются составляющие неисключенных остатков:

d₁ = d = 1 % – класс точности приборов;

% – личностная погрешность,

где С – цена деления вольтметра, В/дел.;

% = 0,3 %;

d₃= d_i = 0,5% – погрешность внутреннего сопротивления вольтметра;

d₁ ¸ d₃ – инструментальная погрешность;

% = 2 %– погрешность сопротивления R или модельная погрешность.

Значение результирующей систематической погрешности можно определить по формуле (3.15) заменой s_i на d_i.

Расчет по выражению (3.15) проводится для двух значений k: при
Р = 0,95 и Р = 0,99 в связи с тем, что имеются инструментальные и модельные погрешности:

для Р = 0,95

, (3.24)

где коэффициенты b_i = 1; m – количество неисключенных остатков,

%;

для Р = 0,99 d_рез » 3,2 %.

Далее определяются граничные значения измеряемой величины:

при Р = 0,95 ; = 12,3 × 0,025 = 0,31 В;

при Р = 0,99 = 12,3 × 0,032 = 0,40 В.

Результат измерения с округлением:

В при Р = 0,99; В при Р = 0,95.

3.1.6. Обработка результатов наблюдений
при наличии случайной погрешности

Погрешность D является случайной величиной. Она может быть представлена в виде:

, (3.25)

где D_с – математическое ожидание величины D; – случайная величина с нулевым математическим ожиданием.

Неслучайную величину D_с называют систематической погрешностью, а – случайной погрешностью. Если значение D_с известно, то систематическую погрешность можно исключить, приняв за окончательный результат измерения х_испр – исправленный результат измерения.

х_испр = х – D_с. (3.26)

Случайную погрешность исключить нельзя, так как неизвестно, какое конкретное значение приняла случайная величина при данном измерении.

Для оценки влияния погрешности на результат измерения задаются положительными D₁ и D₂ и находят вероятность того, что измеряемая величина х_и заключена между (х–D₂) и (х+D₁). Интервал [х–D₂; х+D₁] называется доверительным, а вероятность того, что х_и находится внутри этого интервала, – доверительной вероятностью Р_д. Можно показать, что

Р_д = Р[–D₁ £ D £ D₂]. (3.27)

Обычно выбирают D₁ = D₂. Тогда

Р_д = Р[ |D| £ D₁ ]. (3.28)

Если известен дифференциальный закон распределения погрешности D, т. е. плотность вероятности f(D), то

. (3.29)

Числовые характеристики закона распределения f(D) – математическое ожидание D_с, дисперсия D и среднее квадратическое отклонение s могут быть определены по формулам:

; (3.30)

; (3.31)

. (3.32)

При нормальном законе распределения погрешностей, пользуясь данными таблицы функции Лапласа Ф(z), можно определить

. (3.33)

При использовании функции Лапласа необходимо учитывать, что

Ф(–z) = –Ф(z). (3.34)

В ряде случаев закон распределения погрешностей неизвестен, однако известны (обычно приближенно) его числовые характеристики D_с и s. Тогда для грубой оценки снизу доверительной вероятности Р_д при заданном симметричном доверительном интервале D₁ можно воспользоваться неравенством Чебышева:

. (3.35)

откуда

. (3.36)

Если закон распределения погрешностей f(D), а также его числовые характеристики D_с и s неизвестны, то можно определить их приближенно, располагая результатами независимых измерений (наблюдений) одной и той же величины. Приближенные значения величин D_с, s называют оценками.

Если произведено n независимых наблюдений одного и того же известного значения х (например, с целью проверки прибора) и получены результаты х₁, х₂, …, х_n, то

; (3.37)

. (3.38)

При неизвестной величине х (произведено n независимых наблюдений одного и того же неизвестного значения) найти оценку систематической погрешности D_с невозможно. Если в рассматриваемом случае можно пренебречь систематической погрешностью, то в качестве оценки истинного значения измеряемой величины следует принять среднее арифметическое результатов наблюдений:

. (3.39)

Среднее квадратическое отклонение величины х_ср определяется так:

. (3.40)

Среднее квадратическое отклонение каждого отдельного наблюдения, характеризующее точность метода измерения,

. (3.41)

Предполагая, что закон распределения среднего арифметического результатов наблюдений близок к нормальному (имеет место при достаточно большом числе наблюдений), и пренебрегая систематической погрешностью, можно определить

. (3.42)

Если известно, что погрешности отдельных наблюдений распределены по нормальному закону (параметры которого неизвестны), то вместо приближенной формулы (3.37) следует использовать точное выражение:

, (3.43)

где F_n(t) – интегральная функция распределения Стьюдента.

Выражение (3.43) справедливо для любых n, больших единицы.

Если число наблюдений n мало (n < 10¸20), а закон распределения погрешностей отдельных наблюдений нельзя считать близким к нормальному, то применение приближенного выражения (3.42) приводит к значительным погрешностям. В этом случае для грубой оценки величины Р_д имеет смысл использовать выражение (3.35), приняв в нем s =s_ср.

Если случайная величина Y связана с независимыми случайными величинами Y₁, Y₂, …, Y_n известной функциональной зависимостью
Y = F(Y₁, Y₂, …, Y_n), то, зная математические ожидания m_y1, m_y2, …, m_yn и средние квадратические отклонения s_y1, s_y2, …, s_yn величин Y₁, Y₂, …, Y_n, можно приближенно найти математическое ожидание m_y и среднее квадратическое отклонение s_y величины Y по формулам:

; (3.44)

, (3.45)

где – частная производная функции F(y₁, y₂, …, y_n) по y_i, взятая в точке (m_y1, m_y2, …, m_yn).

Пусть Y₁, Y₂, …, Y_n – случайные результаты прямых независимых измерений различных физических величин, а Y = F(Y₁, Y₂, …, Y_n ) – результат косвенного измерения. Тогда среднее квадратическое отклонение s случайной погрешности результата косвенного измерения можно найти по формуле

, (3.46)

где s_i – среднее квадратическое отклонение случайной погрешности результата прямого измерения Y_i, а в частности производная берется в точке
y₁, y₂, …, y_n, соответствующей результатам прямых измерений.

Систематическая погрешность D_с результата косвенного измерения связана с систематическими погрешностями D_с1, D_с2, …, D_сn соответствующих прямых измерений соотношением

. (3.47)

3.2. Задания для самостоятельного решения

3.2.1. Задача № 5. Обработка результатов наблюдений
при однократном измерении

Аналоговым амперметром класса точности d_пр с пределом I_д и шкалой 150 делений измеряется ток в цепи, содержащей сопротивление R. Сопротивление R имеет погрешность d_R, а измерение выполняется при температуре окружающей среды Т_окр,^оС. Отсчетное устройство показывает N делений с округлением при отсчете до половины деления шкалы. Внутреннее сопротивление амперметра равно R_i. Температурная погрешность не превышает значения m основной на каждые DТ, ^оС.

По данным варианта (табл. 3.2) записать результат измерения.

Температурная погрешность рассчитывается по формуле:

. (3.48)

Таблица 3.2

Исходные данные для задачи № 5

Заданная величина, размерность	Последняя цифра шифра
R, Ом
Токр , оС
dпр , %	0,1	0,2	0,5	1,0	1,5	0,1	0,2	0,5	1,0	1,5
N
Iд ,А				0,5			1,5
Ri , Ом	0,1	0,5		0,7	0,5	0,2	3,7
dR ,%	1,0	0,5	2,0	5,0	2,0	2,0	5,0	1,0	0,1	1,0
DТ, оС
m	1,2	1,4	1,6	1,8	2,0	1,9	1,7	1,5	1,3	1,1