Алгоритм вычисления обратной матрицы

КОНСПЕКТЫ ЛЕКЦИЙ

По дисциплине Элементы высшей математики

Специальность230115 Программирование в компьютерных системах

Часть I

(объем аудиторных часов - 22)

Разработал Т.Е.Елисеева

Старая Русса

2013г.

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ФОНДА ВРЕМЕНИ ЛЕКЦИОННЫХ ЗАНЯТИЙ

Наименование раздела и темы лекции	Вид лекции	Кол-во часовпо очной форме обучения
РАЗДЕЛ 1 ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Тема 1.1 Матрицы и определители Тема 1.2 Системы линейных уравнений и методы их решений	Текущая Текущая
РАЗДЕЛ 2 ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ Тема 2.1 Основы алгебры векторов	Текущая
РАЗДЕЛ 3 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Тема 3.1 Прямая на плоскости Тема 3.2 Кривые второго порядка	Текущая Текущая
РАЗДЕЛ 4ОСНОВЫ ТЕОРИИ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ Тема 4.1 Комплексные числа	Текущая

КОМПЕТЕНЦИИ ОБУЧАЮЩЕГОСЯ,

ФОРМИРУЕМЫЕ В РЕЗУЛЬТАТЕ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ

Общие компетенции (ОК)

ОК 1. Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес.

ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.

ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.

ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития.

ОК 5. Использовать информационно-коммуникационные технологии в профессиональной деятельности.

ОК 6. Работать в коллективе и в команде, эффективно общаться с коллегами, руководством, потребителями.

ОК 7. Брать на себя ответственность за работу членов команды (подчиненных), за результат выполнения заданий.

ОК 8. Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение квалификации.

ОК 9. Ориентироваться в условиях частой смены технологий в профессиональной деятельности.

ОК 10. Исполнять воинскую обязанность, в том числе с применением полученных профессиональных знаний (для юношей).

Профессиональные компетенции (ПК)

ПК 1.1. Выполнять разработку спецификаций отдельных компонент.

ПК 1.2. Осуществлять разработку кода программного продукта на основе готовых спецификаций на уровне модуля.

ПК 2.4. Реализовывать методы и технологии защиты информации в базах данных.

ПК 3.4. Осуществлять разработку тестовых наборов и тестовых сценариев.

РАЗДЕЛ 1 ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

Тема 1.1 Матрицы и определители

План:

1 Матрицы

2 Виды матриц

3 Действия над матрицами

4 Определители

5 Свойства определителей

6 Обратная матрица

7 Ранг матрицы

Матрицы

Матрицей размера m´n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая mстрок и nстолбцов.

Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы.

Матрицы обозначаются прописными буквами латинского алфавита, например, А, В, С,…, а для обозначения элементов матрицы используют строчные буквы с двойной индексацией: a_ij. Первый индекс фиксирует номер строки, а второй – номер столбца, в которых стоит данный элемент.

Например,

или, в сокращенной записи,

А=(а_ij), где i = 1, 2, 3, ¼, m; j = 1, 2, 3, ¼,n.

Пример 1 .

Две матрицы одинаковой размерности m´n называются равными, если в них одинаковые места заняты равными числами (на пересечении i-ой строки и j-го столбца в одной и в другой матрице стоит одно и то же число; i=1, 2, ..., m; j=1, 2, ..., n).

Виды матриц

Матрица, состоящая из одной строки, называется матрицей (вектором) - строкой.

Пример 2 - матрица - строка

Матрица, состоящая из одного столбца, называется матрицей (вектором) - столбцом.

Пример 3 - матрица - столбец

Если число строк матрицы равно числу ее столбцов и равно n, то матрица называется квадратной.

Пример 4 - квадратная матрица третьего порядка

Элементы матрицы a_ij, у которых номер строки равен номеру столбца (i=j), называются диагональными и образуют главную диагональ матрицы. Вторая диагональ называется побочной.

Если все недиагональные элементы матрицы равны нулю, то матрица называется диагональной.

Пример 5 -диагональная матрица третьего порядка

Если у диагональной матрицы п-го порядка все диагональные элементы равны единице, то матрица называется единичнойматрицей п-го порядка и обозначается буквой Е.

Пример 6 - единичная матрица четвертого порядка

Матрица любого размера, называется нулевой, или нуль-матрицей, если все ее элементы равны нулю.

Пример 7 - нулевая матрица размера

Действия над матрицами

Над матрицами, как и над числами, можно производить ряд операций, причем некоторые из них аналогичны операциям над числами, а некоторые – специфические.

1) Умножение матрицы на число

Пусть A = (a_ij) – некоторая матрица, где , λ – произвольное число, тогда

λA = (λa_ij),

то естьпри умножении матрицы A на числоλвсе числа, составляющие матрицу A, умножаются на числоλ.

Пример 8 Найти 5А.

2) Сложение матриц

Пусть A и B – матрицы одинаковой размерности A = (a_ij), B = (b_ij), тогда их сумма A + B есть матрица C = (c_ij) той же размерности, элементы которой

c_ij = a_ij + b_ij для ,

то есть матрицы складываются поэлементно.

Пример 9 . Найти А+В.

.

3) Вычитание матриц

Разность двух матриц одинакового размера определяется через предыдущие операции:

А-В=А+ (-1В).

Пример 10 . Найти А-В.

4) Умножение матриц

Умножение матрицы A на матрицу Bопределено, когда число столбцов n матрицы Aравно числу строк матрицы B, при этом матрица C будет иметь столько строк, сколько строк у матрицы A и столько столбцов, сколько столбцов у матрицы B.

Произведением матриц называется такая матрица , каждый элемент которой c_ij равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В.

Каждый элемент матрицы C определяется формулой

.

Из сказанного следует, что если можно найти произведение матриц AB, то произведение BA, вообще говоря, не определено.

Пример 11Вычислить произведение матриц , где .

Решение: Найдем размер матрицы-произведения (если умножение матриц возможно): .

Вычислим элементы матрицы-произведения С, умножая элементы каждой строки матрицы A на соответствующие элементы столбцов матрицы В следующим образом:

Пример 12Вычислить произведение матриц , где

Решение:

.

Если AB и BA одновременно определены, то, вообще говоря, эти произведения не равны. Это означает, что умножение матриц не коммутативно. Продемонстрируем это на примере.

.

Многие свойства присущие операциям над числами, справедливы и для операций над матрицами.

Сложение матриц коммутативно.

А+В=В+А

Сложение ассоциативно.

(А+В)+С=А+(В+С)

Дистрибутивность умножения относительно сложения матриц.

λ(А+В)= λА+ λВ

Дистрибутивность умножения относительно сложения чисел.

(λ+μ)А= λА+ μА

Дистрибутивность умножения матриц относительно сложения.

А(В+С)=АВ+АС

Дистрибутивность умножения матриц относительно сложения.

(А+В)С=АС+ВС

Умножение ассоциативно.

λ (АВ)=( λА)В=А(λВ)

Ассоциативность умножения.

А(ВС)=(АВ)С

Однако существуют и специфические свойства матриц. Так, операция умножения матриц имеет некоторые отличия от умножения чисел.

А∙В≠В∙А

Коммутативный (переместительный) закон умножения, вообще говоря, не выполняется.

5) Возведение в степень

Целой положительной степенью А^m(m>1) квадратной матрицы А называется произведение m матриц, равных А, т.е.

А^m= .

Свойства операции возведение в степень:

1⁰ А =Е,

2⁰ А ∙А =А ,

3⁰ А =А,

4⁰ =А .

Пример 13 Дана матрица А = , найти А³.

Решение: А² = АА = = ; A³ = =

6) Транспонирование матриц

Преобразование, при котором строки и столбцы матрицы меняются местами с сохранением порядка, называется транспонированием матрицы. Результат называется транспонированной матрицей и обозначается А^Т:

Пример 14 .

Свойства операции транспонирования:

Определители

Определитель – это число, которое характеризует квадратную матрицу. Тесно связан с решением систем линейных уравнений.

Определитель также называют детерминантом.

Обозначают: , det A, .

Определителем произвольной матрицы второго порядка , или определителем второго порядка, называется число, которое вычисляется по формуле

= a₁₁a₂₂ – a₁₂a₂₁

т.е. число, которое равно произведению двух чисел, стоящих на главной диагонали минус произведение двух чисел, стоящих на побочной диагонали:

Пример 15 .

Определителем произвольной квадратной матрицы третьего порядка , или определителем третьего порядка, называется число, которое вычисляется по формуле:

=

Число представляет сумму шести слагаемых, каждое из которых представляет собой произведение трех элементов матрицы. Первые три произведения элементов, стоящих на главной диагонали и в вершинах двух треугольников берутся со знаком "+", а три произведения элементов, стоящих на второй диагонали и в вершинах двух других треугольников: берутся со знаком "-".

Эту формулу легко запомнить, пользуясь схемой, которая называется правилом треугольниковили правилом Сарруса:

Пример 16Вычислить определитель, используя правило треугольников

Для вычисления определителей более высоких порядков используют другие формулы. Для их рассмотрения необходимо ввести новые понятия: минор и алгебраическое дополнение.

Пусть дана квадратная матрица А n-го порядка.

Минором М_ij элемента а_ij матрицы А n-го порядка называется определитель матрицы (n-1)-го порядка, полученной из матрицы Авычеркиванием i-ой строки и j-го столбца.

Любая матрица n-го порядка имеет миноров (n-1)-го порядка.

Например: Матрица 3-го порядка имеет миноров.

Алгебраическим дополнением элемента матрицы n-го порядка называется его минор, взятый со знаком :

т.е. алгебраическое дополнение совпадает с минором когда i+j – чётное число, и отличается от минора знаком, когда i+j – нечётное число.

Пример17Найти все алгебраические дополнения матрицы .

Решение:

Теорема ЛапласаОпределитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраическое дополнение.

- (разложение по элементам i-ой строки)

- (разложение по элементам j-го столбца)

Пример 18 Вычислить определитель, используя теорему Лапласа

Значение теоремы Лапласа: позволяет свести вычисление определителей n-го порядка к вычислению более простых определителей (n-1)-го порядка.

Свойства определителей

Если какая-либо строка (столбец) матрицы состоит из одних нулей, то её определитель равен нулю.

Если матрица имеет две одинаковые строки (столбца), то её определитель равен 0.

Если все элементы, какой-либо строки (столбца) матрицы умножить на число λ, то её определитель умножиться на это число λ.

Общий множитель элементов какой-либо строки (столбца) можно выносить за знак определителя.

При транспонировании матрицы её определитель не изменится:

При перестановке двух строк (столбцов) матрицы её определитель меняет знак на противоположный.

det

Если элементы двух строк (столбцов) матрицы пропорциональны, то её определитель равен нулю.

Определитель матрицы не изменяется, если к элементам какой-либо строки (столбца) матрицы прибавить элементы другой строки (столбца), предварительно умноженные на одно и то же число.

Если каждый элемент i-ой строки (j столбца) задан как сумма двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, в одном из которых сумма заменена её первым слагаемым, а во втором вторым.

Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению их определителей.

|C|=|A|∙|B|, где С=А∙В А,В – матрицы n-го порядка.

Обратная матрица

Для любого числа а, не равного нулю, существует обратное число такое, что .

Для квадратных матриц то же вводится аналогичное понятие.

Матрица называется обратнойпо отношению к квадратной матрице А, если при умножении этой матрицы на данную как справа так и слева получается единичная матрица:

Из этого следует только квадратные матрицы имеют обратную, обратная матрица является квадратной того же порядка. Но не каждая матрица А имеет обратную.

Если а≠0 является необходимым и достаточным условием существования числа , то для существования таким условием является требование

Если , то матрица называетсяневырожденной, или не особенной.

Если , то матрица называется вырожденной, или особенной.

Теорема (необходимое и достаточное условие существования и единственности обратной матрицы).

Обратная матрица существует и единственная тогда и только тогда, когда исходная матрица невырожденная.

Алгоритм вычисления обратной матрицы

Пусть дана матрица А.

1 Находим . Если , то существует обратная матрица .

2 Находим алгебраические дополнения элементов матрицы А и составляем из них присоединённую матрицу

.

3 Вычисляем по формуле = .

4 Проверяем правильность вычисления обратной матрицей по определению:

(не обязательно).

Пример 19Найти матрицу, обратную данной .

Решение: 1 Вычислим определитель матрицы:

.

2 Найдем все алгебраические дополнения матрицы.

3 Найдем А^-1:

.

Пример 20 Найти матрицу, обратную данной .

Решение: 1 Найдем определитель матрицы.

2 Найдем все алгебраические дополнения матрицы:

3 Найдем А^-1:

.

Ранг матрицы

Для решения и исследования ряда математических и прикладных задач важное значение имеет понятие ранга матрицы.

Пусть дана матрица , т.е. матрица, состоящая из m-строк и n-столбцов.

Выберем какие-нибудь к различных строк и к столбцов матрицы А, и составим единичную матрицу к-го порядка где к min(m;n).

Определитель этой квадратной матрицы К-го порядка называется минором к-го порядкаматрицы А.

Рангом матрицы Аназывается наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы.

1 Ранг матрицы не превосходит меньшего из её линейных размеров, т.е.

r(А) ≤ min(m;n).

2 r(A)=0 тогда и только тогда, когда все элементы матрицы равны нулю, т.е. А=0.

3 Для квадратной матрицы n-го порядка r(A)=n тогда и только тогда, когда А – невырожденная т.е. .

Элементарными преобразованиями называют:

1 Отбрасывание нулевой строки (столбца).

2 Умножение всех элементов строки (столбца) матрицы на число, не равное нулю.

3 Изменение порядка строк (столбцов) матрицы.

4 Прибавление к каждому элементу одной строки (столбца) другой строки (столбца), умноженной на любое число.

5 Транспонирование матрицы.

Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях матрицы.

С помощью элементарных преобразований можно привести матрицу к ступенчатому виду

.

Ранг ступенчатой матрицы равен числу её ненулевых строк.

Пример 21Определить ранг матрицы .

Решение: Исключим из матрицы нулевой столбец, и вычтем из третьей строки первую, умноженную на два.

Получим .

Последняя матрица имеет ступенчатый вид. Поэтому ранг полученной ступенчатой матрицы, а, следовательно, и данной, равен числу ее не нулевых строк, т. е. равен 2: r (А) = 2.

Пример 22Определить ранг матрицы .

Решение: Произведем следующее действия:

1 Поменяем местами первую и вторую строки;

2 Из элементов второй строки вычтем утроенные элементы первой строки и из элементов третьей строки элементы первой;

3 К элементам третьей строки прибавим элементы второй строки:

~ ~ ~ ~ .

Последняя матрица ступенчатая, следовательно, ее ранг, как и ранг данной матрицы равен 2: r (А) = 2.