Производная суммы, произведения, частного двух функций.

Определение предела функции в точке. Предел суммы, произведения, частного двух функций.

Функция F(x) имеет предел A в точке X0, предельной для области определения функции F(x), если для каждой окрестности предела A существует проколотая окрестность точки X0, образ которой при отображении F(x) является подмножеством заданной окрестности точки A.

Предел суммы, разности, произведения и частного двух последовательностей

Если две последовательности {xn} и {yn} имеют пределы, равные соответственно a и b, то:

а) Последовательность {xn±yn} имеет предел равный a ±b, т. е.

lim[n―∞](Xn±Yn)=lim[n―∞]Xn±lim[n―∞]Yn=a±b

Это свойство распространяется на случай любого фиксированнго числа слагаемых.

б) Последовательность {xn yn} имеет предел равный ab, т. е.

lim[n―∞](Xn*Yn)=lim[n―∞]Xn*lim[n―∞]Yn=a*b

Это свойство распространяется также на случай любого фиксированного числа сомножителей.

lim[n―∞]KXn=K lim[n―∞]Xn

Постоянный множитель можно выносить за знак предела при любом постоянном k.

с) Последовательность {Xn/Yn} имеет предел равный a/b, т. е.

lim[n―∞](Xn/Yn)=lim[n―∞]Xn/lim[n―∞]Yn=a/b

при условии, что все Yn не равны нулю и limYn=b!=0.

Без доказательства суммы Доделаю позже

Определение производной, ее геометрический и физический смысл.

Пусть в некоторой окрестности точки определена функция Производной функции называется такое число , что функцию в окрестности U(x0) можно представить в виде

f(x0 + h) = f(x0) + Ah + o(h)

если A существует.

Геометрический и физический смысл производной

Тангенс угла наклона касательной прямой

Если функция имеет конечную производную в точке x0, то в окрестности U(x0) её можно

приблизить линейной функцией

Функция fL называется касательной к f в точке x0. Число является угловым коэффициентом или тангенсом угла наклона касательной прямой.

Скорость изменения функции

Пусть s = s(t) — закон прямолинейного движения. Тогда v(t0) = s'(t0) выражает мгновенную скорость движения в момент времени t0. Вторая производная a(t0) = s''(t0) выражает мгновенное ускорение в момент времени t0.

Вообще производная функции y = f(x) в точке x0 выражает скорость изменения функции в точке x0, то есть скорость протекания процесса, описанного зависимостью y = f(x).

Примеры

Пусть f(x) = x2. Тогда

Пусть f(x) = | x | . Тогда если то

f'(x0) = sgn x0,

где sgn обозначает функцию знака. Если x0 = 0, то а следовательно f'(x0) не существует.

Теорема о непрерывности дифференцируемой функции

Непрерывность дифференцируемой функции

Теорема 1. Пусть функция y = f(x) дифференцируема на интервале (a, b). Тогда функция f непрерывна на (a, b).

Доказательство

Возьмем произвольное фиксированное число x (a,b).

По условию теоремы

Следовательно, в малой окрестности числа x0 можно определить функцию α = α(Δx), стремящуюся к нулю при dX->0 такую, что

Но тогда и, следовательно, функция f непрерывна при x = x0. Так как число x0 – произвольное, то функция f непрерывна на всем интервале (a, b).

Теорема доказана.

Из доказанной теоремы непосредственно вытекает, что в точках разрыва функция не может быть дифференцируемой.

Однако из непрерывности функции на интервале (a, b) не следует дифферецируемость функции в каждой точке интервала (a, b). Например, функция непрерывна на всей числовой прямой, но эта функция недифференцируема при x = 0. В самом деле, предел (1) не зависит от знака приращения аргумента Δx. Для функции же имеем, если x = 0 придать приращение Δx > 0, то Δy = Δx, а если Δx < 0, то Δy = − Δx. Таким образом

Следовательно, функция недифференцируема при x = 0.

Производная суммы, произведения, частного двух функций.

1) (u±v)’=u’±v’,

2) (u·v)’=u’v+v’u,

3) (v/u)'=(u’v-uv’)/u^2