Производная суммы, разности, произведения и частного функций

Нахождение производной функции непосредственно по определению (п.4.1) часто связано с определенными трудностями. На практике функции дифференцируют с помощью ряда правил и формул.

Теорема.

Если функции Производная суммы, разности, произведения и частного функций - student2.ru и Производная суммы, разности, произведения и частного функций - student2.ru дифференцируемы в точке х, то в этой точке дифференцируемы функции Производная суммы, разности, произведения и частного функций - student2.ru , Производная суммы, разности, произведения и частного функций - student2.ru , Производная суммы, разности, произведения и частного функций - student2.ru (при условии, что Производная суммы, разности, произведения и частного функций - student2.ru ) и при этом

Производная суммы, разности, произведения и частного функций - student2.ru ;

Производная суммы, разности, произведения и частного функций - student2.ru ;

Производная суммы, разности, произведения и частного функций - student2.ru , Производная суммы, разности, произведения и частного функций - student2.ru .

Следствия

1. Производная суммы, разности, произведения и частного функций - student2.ru , где Производная суммы, разности, произведения и частного функций - student2.ru .

2. Если Производная суммы, разности, произведения и частного функций - student2.ru , то Производная суммы, разности, произведения и частного функций - student2.ru .

3. Производная суммы, разности, произведения и частного функций - student2.ru , где Производная суммы, разности, произведения и частного функций - student2.ru .

Производная сложной функции

Пусть Производная суммы, разности, произведения и частного функций - student2.ru и Производная суммы, разности, произведения и частного функций - student2.ru , тогда Производная суммы, разности, произведения и частного функций - student2.ru − сложная функция с промежуточным аргументом u и независимым аргументом х.

Теорема.

Если функции Производная суммы, разности, произведения и частного функций - student2.ru имеет производную Производная суммы, разности, произведения и частного функций - student2.ru в точке х, а функция Производная суммы, разности, произведения и частного функций - student2.ru имеет производную Производная суммы, разности, произведения и частного функций - student2.ru в соответствующей точке Производная суммы, разности, произведения и частного функций - student2.ru , то сложная функция Производная суммы, разности, произведения и частного функций - student2.ru в точке х имеет производную Производная суммы, разности, произведения и частного функций - student2.ru , которая находится по формуле:

Производная суммы, разности, произведения и частного функций - student2.ru или Производная суммы, разности, произведения и частного функций - student2.ru = Производная суммы, разности, произведения и частного функций - student2.ru .

Кратко это можно сформулировать так (правило цепочки): производная сложной функции равна произведению производных от функций ее составляющих.

Данное правило распространяется на сложные функции при любом (определенном) числе промежуточных аргументов.

Так, если Производная суммы, разности, произведения и частного функций - student2.ru , Производная суммы, разности, произведения и частного функций - student2.ru , Производная суммы, разности, произведения и частного функций - student2.ru , Производная суммы, разности, произведения и частного функций - student2.ru , то

Производная суммы, разности, произведения и частного функций - student2.ru .

Производная обратной функции

Если Производная суммы, разности, произведения и частного функций - student2.ru и Производная суммы, разности, произведения и частного функций - student2.ru − взаимо-обратные дифференцируемые функции и Производная суммы, разности, произведения и частного функций - student2.ru , то

Производная суммы, разности, произведения и частного функций - student2.ru или Производная суммы, разности, произведения и частного функций - student2.ru ,

т.е. производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции.

Записывают:

Производная суммы, разности, произведения и частного функций - student2.ru или Производная суммы, разности, произведения и частного функций - student2.ru .

Пример

Найти производную функции Производная суммы, разности, произведения и частного функций - student2.ru .

Производная суммы, разности, произведения и частного функций - student2.ru , Производная суммы, разности, произведения и частного функций - student2.ru , тогда Производная суммы, разности, произведения и частного функций - student2.ru , Производная суммы, разности, произведения и частного функций - student2.ru . Имеем Производная суммы, разности, произведения и частного функций - student2.ru .

Производная суммы, разности, произведения и частного функций - student2.ru .

Итак, Производная суммы, разности, произведения и частного функций - student2.ru .

Таблица производных

Для удобства и упрощения процесса дифференцирования формулы производных основных элементарных функций и правила дифференцирования сведены в таблицу.


Правила дифференцирования Формулы дифференцирования
1. Производная суммы, разности, произведения и частного функций - student2.ru 1. Производная суммы, разности, произведения и частного функций - student2.ru , Производная суммы, разности, произведения и частного функций - student2.ru
2. Производная суммы, разности, произведения и частного функций - student2.ru 2. Производная суммы, разности, произведения и частного функций - student2.ru
3. Производная суммы, разности, произведения и частного функций - student2.ru , Производная суммы, разности, произведения и частного функций - student2.ru 3. Производная суммы, разности, произведения и частного функций - student2.ru
4. Производная суммы, разности, произведения и частного функций - student2.ru , Производная суммы, разности, произведения и частного функций - student2.ru . 4. Производная суммы, разности, произведения и частного функций - student2.ru
5. Производная суммы, разности, произведения и частного функций - student2.ru , Производная суммы, разности, произведения и частного функций - student2.ru 5. Производная суммы, разности, произведения и частного функций - student2.ru
6. Производная суммы, разности, произведения и частного функций - student2.ru , если Производная суммы, разности, произведения и частного функций - student2.ru , Производная суммы, разности, произведения и частного функций - student2.ru 6. Производная суммы, разности, произведения и частного функций - student2.ru
7. Производная суммы, разности, произведения и частного функций - student2.ru , если Производная суммы, разности, произведения и частного функций - student2.ru , Производная суммы, разности, произведения и частного функций - student2.ru 7. Производная суммы, разности, произведения и частного функций - student2.ru
    8. Производная суммы, разности, произведения и частного функций - student2.ru
    9. Производная суммы, разности, произведения и частного функций - student2.ru
    10. Производная суммы, разности, произведения и частного функций - student2.ru
    11. Производная суммы, разности, произведения и частного функций - student2.ru
    12. Производная суммы, разности, произведения и частного функций - student2.ru
    13. Производная суммы, разности, произведения и частного функций - student2.ru
    14. Производная суммы, разности, произведения и частного функций - student2.ru
    15. Производная суммы, разности, произведения и частного функций - student2.ru
    16. Производная суммы, разности, произведения и частного функций - student2.ru
    17. Производная суммы, разности, произведения и частного функций - student2.ru

Примеры отыскания производных сложных функций

На практике чаще всего приходится находить производные от сложных функций. Покажем на примерах, как находить производные от таких функций.

1. Производная суммы, разности, произведения и частного функций - student2.ru , k − число.

Производная суммы, разности, произведения и частного функций - student2.ru ;

Производная суммы, разности, произведения и частного функций - student2.ru .

2. Производная суммы, разности, произведения и частного функций - student2.ru .

Производная суммы, разности, произведения и частного функций - student2.ru ;

Производная суммы, разности, произведения и частного функций - student2.ru .

3. Производная суммы, разности, произведения и частного функций - student2.ru .

Производная суммы, разности, произведения и частного функций - student2.ru ;

Производная суммы, разности, произведения и частного функций - student2.ru .

4. Производная суммы, разности, произведения и частного функций - student2.ru .

Производная суммы, разности, произведения и частного функций - student2.ru ;

Производная суммы, разности, произведения и частного функций - student2.ru .

5. Производная суммы, разности, произведения и частного функций - student2.ru .

Производная суммы, разности, произведения и частного функций - student2.ru ;

Производная суммы, разности, произведения и частного функций - student2.ru .

6. Производная суммы, разности, произведения и частного функций - student2.ru .

Производная суммы, разности, произведения и частного функций - student2.ru ;

Производная суммы, разности, произведения и частного функций - student2.ru ;

Производная суммы, разности, произведения и частного функций - student2.ru .

7. Производная суммы, разности, произведения и частного функций - student2.ru .

Производная суммы, разности, произведения и частного функций - student2.ru .

8. Производная суммы, разности, произведения и частного функций - student2.ru .

Производная суммы, разности, произведения и частного функций - student2.ru ;

Производная суммы, разности, произведения и частного функций - student2.ru .

9. Производная суммы, разности, произведения и частного функций - student2.ru .

Производная суммы, разности, произведения и частного функций - student2.ru .

10. Производная суммы, разности, произведения и частного функций - student2.ru .

Производная суммы, разности, произведения и частного функций - student2.ru ;

Производная суммы, разности, произведения и частного функций - student2.ru

Производная суммы, разности, произведения и частного функций - student2.ru Производная суммы, разности, произведения и частного функций - student2.ru .

Для случая дифференцирования сложных функций, таблицу производных можно переписать в более общем виде.

Формулы дифференцирования основных элементарных функций от промежуточного аргумента Производная суммы, разности, произведения и частного функций - student2.ru ( Производная суммы, разности, произведения и частного функций - student2.ru )

1. Производная суммы, разности, произведения и частного функций - student2.ru 2. Производная суммы, разности, произведения и частного функций - student2.ru
3. Производная суммы, разности, произведения и частного функций - student2.ru 4. Производная суммы, разности, произведения и частного функций - student2.ru
5. Производная суммы, разности, произведения и частного функций - student2.ru 6. Производная суммы, разности, произведения и частного функций - student2.ru
7. Производная суммы, разности, произведения и частного функций - student2.ru 8. Производная суммы, разности, произведения и частного функций - student2.ru
9. Производная суммы, разности, произведения и частного функций - student2.ru 10. Производная суммы, разности, произведения и частного функций - student2.ru
11. Производная суммы, разности, произведения и частного функций - student2.ru 12. Производная суммы, разности, произведения и частного функций - student2.ru
13. Производная суммы, разности, произведения и частного функций - student2.ru 14. Производная суммы, разности, произведения и частного функций - student2.ru

Производная функции, заданной параметрически

Зависимость между переменными х и y может быть задана параметрически в виде двух уравнений:

Производная суммы, разности, произведения и частного функций - student2.ru

где t − вспомогательная переменная (параметр).

Функцию Производная суммы, разности, произведения и частного функций - student2.ru , определяемую этими уравнениями, можно рассматривать как сложную функцию Производная суммы, разности, произведения и частного функций - student2.ru , где Производная суммы, разности, произведения и частного функций - student2.ru .

По правилу дифференцирования сложной функции имеем:

Производная суммы, разности, произведения и частного функций - student2.ru .

Так как Производная суммы, разности, произведения и частного функций - student2.ru , то

Производная суммы, разности, произведения и частного функций - student2.ru .

Примеры

Найти производные функций:

1. Производная суммы, разности, произведения и частного функций - student2.ru

Производная суммы, разности, произведения и частного функций - student2.ru .

2. Производная суммы, разности, произведения и частного функций - student2.ru

Производная суммы, разности, произведения и частного функций - student2.ru .

Производная неявной функции

Если неявная функция задана уравнением Производная суммы, разности, произведения и частного функций - student2.ru , то для нахождения производной от у по х надо продифференцировать это уравнение по х, рассматривая при этом у как функцию от х, и затем, полученное уравнение разрешить относительно Производная суммы, разности, произведения и частного функций - student2.ru , выразив Производная суммы, разности, произведения и частного функций - student2.ru через х и у.

Пример

Найти производную функции: Производная суммы, разности, произведения и частного функций - student2.ru .

Производная суммы, разности, произведения и частного функций - student2.ru ;

Производная суммы, разности, произведения и частного функций - student2.ru ;

Производная суммы, разности, произведения и частного функций - student2.ru ;

Производная суммы, разности, произведения и частного функций - student2.ru .

Наши рекомендации