Производная частного двух функций (производная дроби)

Вынесение постоянного множителя за знак производной.

Докажем формулу

По определению производной имеем:

Произвольный множитель можно выносить за знак предельного перехода (это известно из свойств предела), поэтому

Производная суммы, производная разности.

Для доказательства второго правила дифференцирования

воспользуемся определением производной и свойством предела непрерывной функции.

Подобным образом можно доказать, что производная суммы (разности) n функций равна сумме (разности) n производных

Производная частного двух функций (производная дроби).

Докажем правило дифференцирования частного двух функций (дроби)

Стоит оговориться, что g(x) не обращается в ноль ни при каких x из промежутка X.

По определению производной

При выводе самой первой формулы таблицы будем исходить из определения производной функции в точке. Возьмем где x – любое действительное число, то есть, x – любое число из области определения функции Запишем предел отношения приращения функции к приращению аргумента при

Следует заметить, что под знаком предела получается выражение , которое не является неопределенностью ноль делить на ноль, так как в числителе находится не бесконечно малая величина, а именно ноль. Другими словами, приращение постоянной функции всегда равно нулю.

Таким образом, производная постоянной функции равна нулю на всей области определения.