Доказать теорему о производной обратной функции

Пусть функция f(x) имеет обратную функцию и конечную, отличную от нуля производную. Тогда для обратной функции существует производная, равная 1/f’(x).

Доказать теорему о производной сложной функции.

Производная сложной функции равна производной функции по промежуточному аргументу, умноженной на производную промежуточного аргумента.

Основные теоремы дифференциального исчисления.

Дать определения максимума и минимума в точке. Доказать необходимое условие экстремума функции в точке (теорему Ферма). Дать определения стационарных и критических точек.

Точка х₀ называется точкой локального минимума (максимума) для функции y=f(x) если найдётся такая окрестность этой точки (х₀-M, х₀+M), что для любого х0(х₀-M, х₀+M) f(x)$f(х₀) (f(x)#f(х₀))

Теорема Ферма: Если функция имеет в точке экстремума конечную производную, то эта производная равна нулю.

Стационарные точки – это точки в которых вторая производная равна нулю.

Критические точки это точки из области определения функции, в которых производная равна нулю или не существует.

Доказать теорему Роля и теорему Лагранжа о конечном приращении функции. Рассказать о геометрической интерпретации этих теорем.

Теорема Роля: Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a, b], имеет конечную производную в точке этого отрезка и принимает на концах отрезка равные значения, то между а и b существует хотя бы одна точка с, в которой f’(с)=0.

Теорема Лагранжа: если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и имеет конечную производную в каждой точке, принадлежащей этому отрезку, то между а и b найдется, по крайней мере, одна точка с, в которой f’(с)=(f(b)-f(a))/(b-a).

Геометрический смысл теоремы Лагранжа заключается в том, что если точки (a, f(a)) и (b, f(b)) на графике функции соединить хордой, то на отрезке [a, b] будет лежать точка с, в которой касательная к графику функции будет параллельна хорде. Что бы доказать это достаточно вычислить угловой коэффициент хорды.

Если в формулу Лагранжа вместо а и b подставить x и x+)x, то получим

f(x+)x)-f(x)=f’(x+)8x) )x, где 80[0, 1]

от куда f(x+)x)=f(x)+f’(x+)8x) )x

эта формула называется формулой конечных пределов и используется для приближённых вычислений.

Выпуклость вниз и выпуклость вверх графика функции в точке. Точки перегиба графика функции.

График имеет выпуклость вверх, если касательная к графику в этой точке находится над графиком. График имеет выпуклость вниз, если касательная в этой точке находится под графиком.

В том случает, если производная в точке равна нулю, а экстремума в этой точке нет, на графике функции будет точка перегиба (точка, в которой касательная к кривой пересекает кривую).