Закон Био-Савара-Лапласа и его применение к расчету магнитных полей прямого и кругового токов

Магнитное поле постоянных токов различной формы изучалось французскими учеными Ж. Био (1774 —1862) и Ф.Саваром (1791-1841). Результаты этих опытов были обобщены выдающимся французским математиком и

физиком П.Лапласом.

Закон Био — Савара — Лапласадля проводника с током I, элемент dl которого создает в некоторой точке А

(рис. 166) индукцию поля dB, записывается в виде

где dl — вектор, по модулю равный длине dl элемента проводника и совпадающий по направлению с током; r— радиус-вектор, проведенный из элемента dl проводника в точку А поля; r — модуль радиуса-вектора r.

Направление dB перпендикулярно dl и r, т. е. перпендикулярно плоскости, в которой они лежат, и совпадает с касательной к линии магнитной индукции. Это направление может быть задано по правилу нахождения линий магнитной индукции (правилу правого винта): направление вращения головки винта дает направление dB, если поступательное движение винта соответствует направлению тока в элементе.

Модуль вектора dB определяется выражением (110.2)

где а — угол между векторами dl и r.

Для магнитного поля, как и для электрического, справедлив принцип суперпозиции: вектор магнитной индукции результирующего поля, создаваемого несколькими токами или движущимися зарядами, равен векторной сумме магнитных индукций складываемых полей, создаваемых каждым током или движущимся зарядом в отдельности:

Рис. 166

Рис. 167

Расчет характеристик магнитного поля (В и Н) по приведенным формулам в общем случае сложен. Однако

если распределение тока имеет определенную симметрию, то применение закона Био — Савара —Лапласа совместно с принципом суперпозиции позволяет просто рассчитать конкретные поля.

1. Магнитное поле прямого тока -тока, текущего по тонкому прямому проводу бесконечной длины (рис. 167). В произвольной точке А, удаленной от оси проводника на расстояние R, векторы dB от всех элементов тока имеют одинаковое направление, перпендикулярное плоскости чертежа («к нам»). Поэтому сложение векторов dВ можно заменить сложением их модулей.

В качестве постоянной интегрирования выберем угол а (угол между векторами dl и r), выразив через него все остальные величины. Из рис. 167 следует, что

(радиус дуги CD вследствие малости d/ равен r, поэтому угол FDC можно считать прямым). Подставив эти выражения в (110.2), получим, что магнитная

Рис. 168

индукция, создаваемая одним элементом проводника, равна (110.4)

Так как угол адля всех элементов прямого тока изменяется в пределах от Одо тт, то, согласно (110.3) и (110.4),

Следовательно, магнитная индукция поля прямого тока (110.5)

2. Магнитное поле в центре кругового проводника с током(рис. 168).

Как следует из рисунка, все элементы кругового проводника с током создают в центре магнитные поля одинакового направления — вдоль нормали от витка. Поэтому сложение векторов dB можно заменить сложением их модулей. Так как все элементы проводника перпендикулярны радиусу-вектору (sin a = 1) и расстояние всех элементов проводника до центра кругового тока

одинаково и равно R, то, согласно (110. 2),

Тогда

Следовательно, магнитная индукция поля в центре кругового проводника с током