Разделим почленно уравнение (1) на (2), получаем уравнение
(3)
По определению
FK=qE. (4)
Напряженность бесконечной плоскости
(5)
Подставим (5) в (4)
(6)
Подставляя (6) в (3), получаем
Вычисления:
Ответ: угол, который образует нить с плоскостью, равен .
Задача 6
С какой силой Fl на единицу длины отталкиваются две одноименно заряженные бесконечно длинные нити с одинаковой линейной плотностью заряда 3 мкКл/м, находящиеся на расстоянии r1=2 см друг от друга? Какую работу на единицу длины надо совершить, чтобы сдвинуть эти нити до расстояния r2=1 см.?
Дано: ![]() | Решение: Напряженность поля, образованного заряженной бесконечно длинной нитью равна ![]() | |
Fl – ?, Аl – ? | на элементарный заряд dq, равна |
dF=E×dq (2)
Линейная плотность заряда равна
(3)
где dl – длина физически бесконечно малого отрезка нити,
dq – заряд, сосредоточенный на этом отрезке.
r1 |
Силу взаимодействия двух нитей можно найти по формуле с использованием формул (1), (2), (3)
где l – длина нити.
Отношение будет равно силе, с которой отталкиваются две нити на единицу длины
(1¢)
Вычисления:
б) Сила, действующая на отрезок нити равный dl равна
(4)
где х – расстояние между нитями.
Совершаемая при этом работа равна
dAl=Fldx. (5)
Интегрируем выражение (5)
(6)
Подставляя в (6) формулу (1¢) при этом заменяя в (1¢) постоянный параметр r1 на изменяющийся параметр х, получаем
Вычисления:
Ответ: две одноименные заряженные бесконечно длинные нити отталкиваются с силой Fl=8,1 Н/м, приходящейся на единицу их длины; чтобы сдвинуть эти две нити на 1 см, надо совершить работу Al=0,112 Дж/м, приходящуюся на единицу их длины.
Задача 7
В плоском горизонтально расположенном конденсаторе заряженная капелька ртути находится в равновесии при напряженности электрического поля Е=60кВ/м. Заряд капли q= . Найти радиус R капли.
Дано: ![]() | Решение: На шарик (каплю) действуют две силы: сила тяжести ![]() |
R – ? | ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Найдем проекции векторов сил на ось Оу
Оу: mg–Fэл=0 Þ mg=Fэл (2)
По определению
В области между плоскостями складываемые поля имеют одинаковое направление, так что результирующая напряженность равна
По определению
(3)
Подставим формулу (3) в (2), получаем
Вычисления:
Ответ: радиус капли должен быть
Задача 8
Кольцо из проволоки радиусом R=10 см имеет отрицательный заряд q=–5 нКл. 1) Найти напряженность Е электрического поля на оси кольца в точках, расположенных на расстояниях L равных 0, 5, 8, 10 и 15см. Начертить график Е=f(L). 2) На каком расстоянии L от центра кольца напряженность электрического поля будет иметь максимальное значение?
Дано: ![]() | Решение: 1) Возьмем элемент кольца dl. Этот элемент несет заряд dQ. Напряженность электрического поля в т. А, созданная этим элементом ![]() ![]() |
![]() | ющие ![]() ![]() ![]() |
Составляющая
что дает
dq dl x ![]() ![]() ![]() |
но и окончательно
(1)
– напряженность электрического поля на оси кольца.
Если L>>R, то
т. е. на больших расстояниях заряженное кольцо можно рассматривать как точечный заряд.
Подставляя в (1) числовые данные, получим соответственно
2) Выразим величины х и L через угол a. Имеем
R=sina, L=cosa.
Теперь формула (1) примет вид:
Для нахождения максимума величины Е возьмем производную и приравняем ее нулю
делим на cos2a
Тогда расстояние L точки А от центра кольца, на котором напряженность электрического поля максимальна, равно
График E=f(L):
![]() |
В нашем случае R=0,1 м и, следовательно,
Lm=7,1×10-2 м, Еmax=1732 В/м.
Ответ: напряженность электрического поля на 0 м; 0,05 м; 0,08 м; 0,1 м; 0,15м равна соответственно 0 В/м; 1609 В/м; 1714 В/м; 1590 В/м; 1152 В/м. Напряженность будет максимальной на расстоянии от центра и равна Е=1732 В/м.
Тема 2
Потенциал
Разность потенциалов между двумя точками электрического поля определяется работой, которую надо совершить, чтобы единицу заряда перенести из одной точки в другую
Потенциал точечного заряда
где r – расстояние от заряда.
Напряженность электрического поля и потенциал связаны соотношением
где U – разность потенциалов между пластинами конденсатора,
d – расстояние между ними.
Шаровой конденсатор
Разность потенциалов между внутренней сферой и какой-либо точкой внутри конденсатора, удаленной на расстояние r от центра конденсатора, равна
где а – радиус внутренней сферы.
Плоский конденсатор
Разность потенциалов между положительно заряженной пластиной и произвольной точкой, удаленной на расстояние х от нее, равна
3) Цилиндрический конденсатор
Разность потенциалов между внутренним цилиндром и произвольной точкой между электродами равна
где а – радиус внутреннего цилиндра,
q1 – заряд внутреннего цилиндра на единицу длины.
Задача 9
Шарик массой m=40 мг, заряженный положительным зарядом q1=1 нКл, движется со скоростью v=10 см/с. На какое расстояние r может приблизиться шарик к положительному точечному заряду q2=1,3 нКл?
Дано: ![]() | Решение: Шарик, летящий в направлении точечного заряда, будет тормозиться полем до тех пор, пока не остановится на некотором расстоянии от него. После остановки шарик начнет двигаться назад и улетит в бесконечность. В момент остановки, когда скорость шарика относительно точечного заряда равна нулю, расстояние между ними |
![]()
r |
r – ? | будет минимальным. |
Воспользуемся законом сохранения и превращения механической энергии
(1)
Работа внешних сил над электроном – работа сил поля равна
где j1 – потенциал поля заряда в той точке, где шарик обладал кинетической энергией
j2– потенциал поля заряда в той точке, где шарик остановился W2=0.
Если расстояние от заряда до указанных точек поля равно r и R, то, учитывая, что e=1, для потенциалов поля в этих точках получим
С учетом этих выражений для работы сил поля будем иметь
или
(2)
т. к. в данном случае R>>r.
Подставляем (2) в (1)
Вычисления:
Ответ: шарик сможет приблизиться к положительному точечному заряду на расстояние 6 см.
Задача 10
На какое расстояние могут сблизиться два электрона, если они движутся навстречу друг другу с относительной скоростью 108 см/с?
Дано: ![]() | Решение: Будем считать, что один электрон неподвижен. Свяжем систему координат с неподвижным зарядом. Значит, второй электрон будет приближаться к первому со скоростью u=106 м/с. Воспользуемся законом сохранения и превращения механической энергии: ![]() |
r – ? |
![]()
|