Цилиндрические и сферические координаты

В пространстве обобщением полярных систем координат являются цилиндрические и сферические системы координат. И для тех, и для других фигура, относительно которой определяется положение точки, состоит из точки 0, луча l, исходящего из 0 и вектора n, неравному по длине единице и перпендикулярному к l. Через точку 0 можем провести плоскость P, перпендикулярную вектору n.

Пусть дана некоторая точка М. Опустим из ее перпендикуляр Цилиндрические и сферические координаты - student2.ru на плоскость P.

Цилиндрические координаты точки M(r,j, h), числа r,j - полярные координаты, точка Цилиндрические и сферические координаты - student2.ru по отношению к полуоси 0 и полярной оси l, а h – компонента Цилиндрические и сферические координаты - student2.ru по вектору n. Она определена, так как эти векторы коллиниарны.

Сферические координаты точки (r,j, Q). Они определяются так: Цилиндрические и сферические координаты - student2.ru ; как и для цилиндрических координат j - углов вектора, Цилиндрические и сферические координаты - student2.ru с лучом l; и Q – угол с плоскостью P.

Цилиндрические и сферические координаты - student2.ru Цилиндрические и сферические координаты - student2.ru

11. Поверхности второго порядка:

  • эллипсоид;

Рассмотрим поверхности, которые получаются при вращении эллипс вокруг его осей симметрии. Направив вектор l3 сначала вдоль малой оси эллипса, а затем вдоль большой оси, мы получим уравнение эллипса в следующих видах: Цилиндрические и сферические координаты - student2.ru , (здесь через с обозначена малая полуось эллипса).

Цилиндрические и сферические координаты - student2.ru
Цилиндрические и сферические координаты - student2.ru
В силу формулы Цилиндрические и сферические координаты - student2.ru уравнения соответствующих поверхностей вращения будут :

(1) и (2).

Поверхности (1) и (2) называются сжатым и вытянутым эллипсоидами вращения.

Цилиндрические и сферические координаты - student2.ru Цилиндрические и сферические координаты - student2.ru Цилиндрические и сферические координаты - student2.ru Цилиндрические и сферические координаты - student2.ru Цилиндрические и сферические координаты - student2.ru Цилиндрические и сферические координаты - student2.ru Цилиндрические и сферические координаты - student2.ru Цилиндрические и сферические координаты - student2.ru Цилиндрические и сферические координаты - student2.ru Цилиндрические и сферические координаты - student2.ru

Каждую точку M(x; y; z) эллипсоиде вращения (1) сдвинем на плоскости g (координаты плоскости, проходят через l1 и l3) та, чтобы расстояние от точки до этой плоскости уменьшилось в постоянном для всех отношений Цилиндрические и сферические координаты - student2.ru . После сдвига М совпадет с Цилиндрические и сферические координаты - student2.ru , координаты которой определяются равенствами Цилиндрические и сферические координаты - student2.ru . Т.о., все точки эллипсоида вращения (1) переходят в точки поверхности с уравнением:

 
 
Цилиндрические и сферические координаты - student2.ru

(3), где Цилиндрические и сферические координаты - student2.ru .

Поверхность, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат имеет уравнение (3), называется эллипсоидом.

Если случайно окажется b = c, получим снова эллипсоид вращения, но уже вытянутый. Эллипсоид, так же как и эллипсоид вращения, из которого он получен, представляет собой замкнутую ограниченную поверхность. Из уравнения (3) видно, что (0; 0; 0) – центр симметрии для эллипсоида, а координатные плоскости – его плоскости симметрии.

Эллипсоид получается из эллипсоида вращения сжатием так же, как эллипс получается сжатием окружности. Сжатием сферы Цилиндрические и сферические координаты - student2.ru можно получить эллипсоид вращения (1). Для того, чтобы из сферы получить вытянутый эллипсоид, нужно сделать аналогичное преобразование, но Цилиндрические и сферические координаты - student2.ru - растяжение.

  • однополостный гиперболоид;

Однополостный гиперболоид вращения – это поверхность вращения гиперболы вокруг той ее оси, которая ее не пересекает.

 
 
Цилиндрические и сферические координаты - student2.ru

Цилиндрические и сферические координаты - student2.ru
По формуле Цилиндрические и сферические координаты - student2.ru получаем уравнение однополосного гиперболоида:

(4).

Цилиндрические и сферические координаты - student2.ru
В результате сжатия этой поверхности получаем поверхность с уравнением:

(5).

Поверхность, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат имеет уравнение (5), называемая однополостным гиперболоидом.

Свойство однополостного гиперболоида – наличие у него прямолинейных образующих. Так называются прямые линии, всеми своими точками лежащие на поверхности.

Цилиндрические и сферические координаты - student2.ru

Цилиндрические и сферические координаты - student2.ru
Через каждую точку однополосного гиперболоида проходит две прямолинейные образующие, уравнение которых можно получить следующим образом. Перенесем член Цилиндрические и сферические координаты - student2.ru в правую часть уравнения (5) и разложим обе части равенства на множители: Цилиндрические и сферические координаты - student2.ru .

Рассмотрим прямую линию с уравнениями (6), где

Цилиндрические и сферические координаты - student2.ru
l и М – некоторые числа одновременно неравные 0. Координаты каждой точки прямой удовлетворяют обоим уравнениям, следовательно и их произведению – уравнению (5). Поэтому все точки прямой (5) лежат на однополостном гиперболоиде

Подставляя координаты точки лежащей на однополостном гиперболоиде, в одном из уравнений (5) и в одно из уравнений (6), найдем отношения параметров l, М и Цилиндрические и сферические координаты - student2.ru , которые соответствуют прямолинейным образующим, проходящим через эту точку.

Если вместе с гиперболой вращать и ее асимптоты, то они опишут прямой круговой конус, называемый асимптотическим конусом гиперболоида вращения.

  • двуполостный гиперболоид;

Цилиндрические и сферические координаты - student2.ru
Двуполостный гиперболоид вращения – это поверхность вращения гиперболы: Цилиндрические и сферические координаты - student2.ru вокруг той оси, которая ее пересекает. По формуле Цилиндрические и сферические координаты - student2.ru получаем уравнение двуполостного гиперболоида вращения:

(8).

Цилиндрические и сферические координаты - student2.ru
В результате сжатия этой поверхности получается поверхность с уравнением

(9).

Поверхность, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат имеет уравнение вида (9), называется двуполостным гиперболоидом.

Цилиндрические и сферические координаты - student2.ru

Двум ветвям гиперболы соответствуют здесь две не связанные между собой части, поверхности, в то время как, например, при построении однополосного гиперболоида вращения каждая ветвь гиперболы описывает всю поверхность.

  • эллиптический параболоид;

Цилиндрические и сферические координаты - student2.ru
При вращении параболы Цилиндрические и сферические координаты - student2.ru вокруг ее оси симметрии мы получаем поверхность с уравнением

(10),

Цилиндрические и сферические координаты - student2.ru
называемую параболоидом вращения в поверхность с уравнением

(11).

Поверхность, которая имеет такое уравнение в некоторой декартовой прямоугольной системе координат, называется эллиптическим параболоидом .Сечение этой поверхности плоскостями z = a при а > 0 представляют собой эллипсы Цилиндрические и сферические координаты - student2.ru , а сечения плоскостями, параллельны другим координатным плоскостям, например плоскостями Цилиндрические и сферические координаты - student2.ru , - параболы Цилиндрические и сферические координаты - student2.ru .

Цилиндрические и сферические координаты - student2.ru

  • гиперболический параболоид;

 
 
Цилиндрические и сферические координаты - student2.ru

(12)

Поверхность, которая имеет в некоторой декартовой прямоугольной системе координат уравнение вида (12), называется гиперболическим параболоидом.

Цилиндрические и сферические координаты - student2.ru

Цилиндрические и сферические координаты - student2.ru
Сечение гиперболического параболоида плоскостью Цилиндрические и сферические координаты - student2.ru представляют собой гиперболу, которая в этой плоскости имеет уравнение: Цилиндрические и сферические координаты - student2.ru в системе координат 0*, l1, l2 с началом в точке (0, 0, a). Для больших + - ных a полуоси гиперболы Цилиндрические и сферические координаты - student2.ru и Цилиндрические и сферические координаты - student2.ru велики и уменьшаются с уменьшением a. При этом вещественная ось гиперболы параллельна l1. При a = 0 гипербола вырождается в пару пересекающихся прямых. Если a < 0 вещественная ось гиперболы параллельна l2. Полуоси растут с увеличением Цилиндрические и сферические координаты - student2.ru . Отношение полуосей для всех гипербол, соответствующих a одного знака, одно и то же. Если нарисовать все сечения гиперболического параболоида на одной и той же плоскости, то получим семейство всех гипербол, имеющих в качестве асимптот пару пересекающихся прямых с уравнением Цилиндрические и сферические координаты - student2.ru . Гиперболический параболоид, как и однополосный гиперболоид, имеет L семейство прямолинейных образующих, уравнения которых следствие:

  • конус второго порядка;

Цилиндрические и сферические координаты - student2.ru
Рассмотрим на плоскости Р пару пересекающихся прямых, задаваемую в систему координат 0, l1, l3 уравнением: Цилиндрические и сферические координаты - student2.ru .Поверхность получаемая вращением это линии вокруг оси аппликат, имеет уравнение

(13),

и носит название прямого кругового конуса. Сжатие к плоскости g переводит прямой круговой конус в поверхность с уравнением

 
 
Цилиндрические и сферические координаты - student2.ru

(14).

Поверхность, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат имеет уравнение (14), называется конусом второго порядка. Конус состоит из прямых линий, проходящих через начало координат. Сечение конуса плоскостями с уравнениями z = a для различных a представляют собой эллипсы Цилиндрические и сферические координаты - student2.ru .

Цилиндрические и сферические координаты - student2.ru

  • цилиндры второго порядка;

Цилиндрические и сферические координаты - student2.ru
Рассмотрим уравнение второй степени, не содержащее текущей z.

(15)

Уравнение (15) определяет цилиндр с образующими параллельные оси Oz.

Поскольку уравнение (15) есть уравнение второй степени, определяемое им поверхность называется цилиндром второго порядка.

Уравнение (1) по существу не отличается от уравнения линии второго порядка в декартовых координатах на плоскости. Отсюда заключаем, что сечение рассматриваемого цилиндра плоскостью Oxy есть линия второго порядка.

В зависимости от характера этой линии мы имеем цилиндры второго порядка следующих типов:

Цилиндрические и сферические координаты - student2.ru
1) эллиптический цилиндр; при помощи надлежащего выбора координатной системы его уравнение может быть приведено к виду:

. .

Если a = b, то цилиндр оказывается круговым.

2) гиперболический цилиндр; его уравнение может быть приведено к виду

 
 
Цилиндрические и сферические координаты - student2.ru

.

3) Параболический цилиндр; его уравнение может быть приведено к виду

Цилиндрические и сферические координаты - student2.ru

1) 2) 3) .

Цилиндрические и сферические координаты - student2.ru Цилиндрические и сферические координаты - student2.ru Цилиндрические и сферические координаты - student2.ru

Кроме того, возможен случай, когда левая часть уравнения (15) есть произведение двух множителей первой степени. Тогда цилиндр «вырождается» в пару плоскостей. Наконец, возможно еще, что уравнение вида (15) совсем не имеет вещественных решений и следовательно, совсем не определяет никакого геометрического образа. Относительно такого уравнения принято говорить, что оно «определяет мнимый цилиндр».

Наши рекомендации