Ортогональные преобразования. Приведение квадратичной формы
К каноническому виду методом ортогональных преобразований
Для любой симметрической матрицы ( ) существует ортогональная матрица ( ) такая, что выполняется равенство
, , (7)
где – собственные значения матрицы , повторяющиеся с учетом их алгебраических кратностей.
При этом собственные векторы матрицы , отвечающие различным собственным значениям, попарно ортогональны.
Определение 6. Линейное преобразование вида
(8)
с ортогональной матрицей ( ) называется ортогональным преобразованием.
Если взять в качестве матрицы матрицу квадратичной формы (1), то при помощи ортогонального преобразования (8) ее можно привести к диагональному виду (7). А это означает, что любую квадратичную форму (1) с помощью ортогонального преобразования (8) можно привести к каноническому виду
. (9)
Чтобы найти матрицу , осуществляющую ортогональное преобразование (8), необходимо:
1) найти собственные числа ( ) матрицы , указав соответствующие алгебраические кратности;
2) для каждого собственного числа ( , ) найти соответствующий набор линейно независимых собственных векторов (их количество должно равняться алгебраической кратности собственного числа). В результате получим линейно независимую систему собственных векторов;
3) преобразовать полученную в пункте 2 систему собственных векторов в ортонормированную систему векторов. При этом, если есть различные собственные числа матрицы , то соответствующая система собственных векторов является ортогональной, и достаточно пронормировать собственные векторы. Если же среди собственных чисел есть равные, то необходимо провести процесс ортогонализации Грамма-Шмидта (так как основным пространством является евклидово пространство , то скалярное произведение задается в нем стандартным образом).
В результате получить ортогональную матрицу , столбцами которой являются векторы ортонормированной системы.
4) Записать ортогональное преобразование (8) и соответствующую каноническую форму (9). Рекомендуется выполнить проверку равенства (5).
Пример 4.Привести квадратичную форму
к каноническому виду методом ортогонального преобразования.
Решение.
1) Найдем собственные значения матрицы квадратичной формы. Матрица формы в нашем случае имеет вид
.
Для нахождения собственных чисел составляем характеристический многочлен
Решим соответствующее характеристическое уравнение
Итак, собственные значения матрицы . Алгебраическая кратность каждого собственного числа равна 1 (все числа попарно различны).
2) Для каждого собственного числа ( ) найдем соответствующий двумерный собственный вектор
.
Соответствующая система линейных алгебраических уравнений для нахождения собственного вектора имеет вид
(10)
Решим для каждого собственного числа ( ) систему (10). При система (10) примет вид
Ее решением (берем любое ненулевое частное решение) является
В результате получаем первый собственный вектор
.
Аналогично собственный вектор, соответствующий собственному значению , имеет вид
.
Получаем линейно независимую систему собственных векторов
, .
3) Преобразуем полученную в пункте 2 систему собственных векторов в ортонормированную систему. Cистема собственных векторов является ортогональной:
.
Пронормировав собственные векторы, получим систему ортонормированных векторов:
, , ( ),
, , , .
В результате получаем ортогональную матрицу, столбцами которой являются вектор-столбцы построенной ортонормированной системы:
,
4) Соответствующая каноническая форма (9) имеет вид
.
Выполним проверку проведенных вычислений. Матрицы исходной квадратичной формы и канонической формы имеют вид
, .
Убедимся в справедливости равенства (5):
Пример 5.Привести квадратичную форму
к каноническому виду методом ортогонального преобразования.
Решение.
1) Найдем собственные значения матрицы квадратичной формы. Матрица формы имеет вид
.
Для нахождения собственных значений составляем характеристическое уравнение
Раскладывая определитель по первой строке, получим
.
Находим корни характеристического уравнения. Для этого сгруппируем первое слагаемое с третьим, а второе – с четвертым:
В результате получаем собственные значения
.
Алгебраическая кратность каждого собственного значения равна 1 (все числа попарно различны).
2) Для каждого собственного числа ( ) найдем соответствующий собственный вектор
.
Соответствующая система линейных алгебраических уравнений для нахождения собственного вектора имеет вид
(11)
Решим для каждого собственного числа ( ) систему (11). При система (11) принимает вид
.
Полученную однородную систему решим методом Гаусса. Составляем основную матрицу системы
Последние две строки пропорциональны (коэффициент пропорциональности равен 2), что дает возможность обнулить последнюю строку. Получим следующую ступенчатую матрицу (вторую строку сократили на -27)
.
Переходя от матрицы к системе, получим
Таким образом, общее решение системы имеет вид
Выделяя из этого общего решения частное решение, получим при собственный вектор
.
Действуя аналогично, можно найти для соответствующие собственные векторы
, .
В результате получим линейно независимую систему соответствующих собственных векторов
, , .
3) Преобразуем полученную в пункте 2 систему собственных векторов в ортонормированную систему векторов. Заметим, что система собственных векторов является ортогональной:
, , .
Пронормировав собственные векторы, получим систему ортонормированных векторов:
, , ( ).
Имеем
, , , , , .
В результате получаем ортогональную матрицу
,
столбцами которой являются векторы построенной ортонормированной системы.
4) Соответствующая каноническая форма (6.9) имеет вид
.
Выполним проверку проведенных вычислений. Матрицы исходной квадратичной формы и канонической формы имеют вид
, .
Выполним проверку :
.