Конустық қималар

Дөңгелек конусты оның төбесіне өтпейтін жазықтықпен қиғанда пайда болған қисықты конустық қима деп атайды. Егер қима жазықтық өсіне перпендикуляр болса, онда конустық қима шеңбер болады.

Конкустық қималардың негізгі қасиеті:

Әрбір конустық қима фокус деп аталатын нүктеден дисектриса деп аталатын түзуге дейінгі ара қашықтықтарының қатынасы тұрақты болатын жазықтықтағы нүктелердің геометриялық орындары, яғни .

саны конустық қиманың эксцентриситеті деп аталады.

Егер , онда конустық қима эллипс деп аталады.

Егер , онда конустық қима парабола, ал , онда конустық қима гипербола деп аталады.

Тік бұрышты декарттық координаттар жүйесіндегі конустық қималардың теңдеулері

(6.1)

(6.2)

(6.3)

(6.1) – (6.3) – конустық қималардың канондық теңдеулері; және сандары – жарты өстері.

(6.1) – эллипстің канондық теңдеуі.

:

1. Координаттар өстері – эллипстің симметрия өстері;

2. Координаттар бас нүктесі – эллипстің симметрия центрі (эллипстің цнетрі):

3. Эллипстің екі фокусы және екі директисалары бар;

4. Фокустарына дейінгі ара қашықтықтарының қосындысы тұрақты шамасына тең нүктелердің геометриялық орындары – эллипс;

5. Эллипс үшін теңдігі орындалады, мұнда саны келесі шарттан анықталады: , ;

6. және түзулер эллипстің директисалары, мұнда ;

7. Эллипс , тік бұрышпен шектелген;

8. Эллипс шеңбері өсі бойымен формулалар бойынша бір қалыпты сығуынан пайда болады;

9. Эллипстің параметрлік теңдеуі: , - нақты сан.

1-9 қасиеттерін пайдаланып эллипсті салуға болады.

(6.2) – гиперболаның канондық теңдеуі.

Гиперболаның қасиеттері.

1. Координаттар өстері - гиперболаның симметpия өстері;

2. Координатrар бас нүктесі – гиперболаның симметрия центрі (гиперболаның центрі);

3. Гиперболаның екі фокусы, екі директриса және екі тармағы бар;

4. Фокустарына дейінгі ара қашықтықтарының айырмасының абсолют шамасы тұрақты шамаға тең болатын, яғни нүктелердің геометриялық орындары - гипербoла;

5. Гипербола үшін , мұнда саны , шартынан анықталады;

6. және түзулері гиперболаның директисалары, мұнда ;

7. Гипербола , тік төртбұрыштан тыс орналасқан.

8. 1-ші және 2-ші вертикаль бұрыштарының ішінде гиперболаның нүктелері жоқ;

9. (Асимптотикалық қасиет). Егер (6.2) гиперболаның нүктесі координаттар бас нүктесінен шексіз алыстайтын болса, онда оның ; түзулеріне ( тік төртбұрыштың диагональдары) дейінгі ара қашықтық нөлге ұмтылады. және түзулері гиперболаның асимптоталары деп аталады.

1 - 9. қасиеттерін пайдаланып гиперболаны салуға болады.

Ескерту. гипербола гиперболаға түйіндес деп аталады, - нақты өсі; , - - төбелері.

(6.3) - параболаның канондық теңдеуі.

Параболаның қасиеттері:

1. - симметрия өсі;

2. фокустың координаттары: , директрисаның теңдеуі;

3. егер болса, онда парабола оң жарты жазықтықта орналасад , егер - теріс жарты жазықтықта.