Пример 3. определение характеристик безопасности железобетонного сечения
По условиям примера 2 для прямоугольного железобетонного сечения определить характеристику безопасности b, Вероятность безотказной работы
P(S > 0), вероятность разрушения V=P(S < 0), интегральный коэффициент запаса 
.
Для вычисления значений параметров безопасности необходимо знать статистические характеристики случайных величин, входящих в формулу (II.5), – математические ожидания 
, 
и дисперсии (коэффициенты вариации fR и fF) обобщенной прочности R и обобщенной нагрузки F. Статистические характеристики обобщенной прочности – предельного изгибающего момента в сечении M – получены в примере 2: =mM=770,6кН×м; коэффициент вариации 
. Статистические характеристики обобщенной нагрузки – изгибающего момента в сечении от внешних нагрузок, находим по заданному коэффициенту вариации 
и расчетному изгибающему моменту M*=540 кН×м. Принимаем, что обеспеченность расчетного момента M* равна 3 стандартам, тогда математическое ожидание 
кН×м; стандарт 
47,65 кНм.
Характеристика безопасности 
.
По формуле (III.12) вероятность безотказной работы 
; риск V=0,3×10-10. Коэффициент запаса 
.
Уровень безопасности при b=6,43 является неоправданно высоким, это приводит к перерасходу материала и удорожанию конструкции в целом. Содержащиеся в нормах проектирования нормативные значения нагрузок, сопротивления материалов, значения коэффициентов надежности, определяющие уровень надежности, назначены, в основном, из практического опыта, который свидетельствует о том, что повреждения и обрушения конструкций чаще всего связаны с допущенными ошибками при строительстве и эксплуатации, а не с недостаточным уровнем надежности, заложенным в проектные решения. Это послужило косвенным основанием для наметившейся за последние годы тенденции постепенного снижения расчетных значений нагрузок и повышения расчетных значений сопротивлений материалов.
ПРИМЕР 4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАСЧЁТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК НАГРУЗКИ И НЕСУЩЕЙ СПОСОБНОСТИ СЕЧЕНИЯ ПРИ ЗАДАННОМ УРОВНЕ БЕЗОПАСНОСТИ
Определить расчетные характеристики нагрузки и несущей способности сечения при заданном уровне безопасности b=3,0; P(S > 0)=Ф*(b)=0,9987 по результатам вычислений примеров 1, 2 и 3.
При уменьшении b график плотности распределения резерва прочности p(S) сдвигается по оси S влево на интервал (mS1–mS), где 
кНм – математическое ожидание резерва прочности S при b=6,43; mS1 – то же для b=3,0 (рис. 11).
Величина mS1 находится из решения квадратного уравнения: 
. Корень уравнения 
=563,084 кНм – математическое ожидание обобщенной прочности при b=3,0. Стандарт 
кНм. Тогда mS1=563,084–397,5= =165,584 кНм.
Построим законы распределения p1(R) и p(F) по имеющимся характеристикам mF, mR1, 
, 
(рис. 12). Кривые распределения пересекаются в точке О, соответствующей несущей способности сечения R0 и обобщенной нагрузке F0: F0=R0=500 кНм. Точка пересечения О отстоит от соответствующих центров распределения на nR и nF стандартов:
Рис. 11. Плотность вероятностей резерва прочности при уровне безопасности:
β=6,56 – p(S); β=3,0 – p(S1)
Рис. 12. Определение расчётных значений обобщённой прочности R и обобщённой нагрузки F при уровне безопасности β=3,0
.
Что соответствует обеспеченности P(R1 >R0)=Ф*(nR)=0,9953.
,
Что соответствует обеспеченности P(F<F0)=Ф*(nF)=0,9846.
Хотя обеспеченность каждого из параметров R1 и F меньше 0,9987, но отказ сечения в целом происходит только при одновременном выполнении двух событий:
А – прочность равна R0, а нагрузка больше F0;
Б – нагрузка равна F0, а прочность меньше R0.
Вероятность совместного выполнения событий А и Б равна заданному уровню риска V=1–0,9987=0,0013. Таким образом, приняв за расчетное значение прочности предельный момент M=R0, или за расчетное значение момента в сечении от действующей нагрузки M*=F0, можно запроектировать сечение с меньшим расходом материала, а, следовательно, меньшей стоимости, при обеспечении достаточного уровня надежности.
СОДЕРЖАНИЕ
| ВВЕДЕНИЕ………………………………………………………………… | |
| I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И ТЕОРИИ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ……………………………………………….. | |
| I.1. Случайные величины……………………………………………… | |
| I.2. Статистический ряд распределения. Гистограмма……………… | |
| I.3. Числовые (статистические) характеристики случайных величин | |
| I.4. Некоторые законы распределения случайных величин………… | |
| I.5. Статистический характер прочности…………………………….. | |
| ПРИМЕР 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ПРОЧНОСТИ БЕТОНА……………..……………………………………... | |
| II. СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН………………………………. | |
| II.1. Методы вероятностных расчетов строительных конструкций… | |
| ПРИМЕР 2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ НЕСУЩЕЙ СПОСОБНОМТИ ЖЕЛЕЗОБЕТОННОЙ БАЛКИ МЕТОДОМ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ЛИНЕАРИЗАЦИИ………………………………………………………….. | |
| III. РАСЧЕТ СООРУЖЕНИЙ НА БЕЗОПАСНОСТЬ…………………… | |
| ПРИМЕР 3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК БЕЗОПАСНОСТИ ЖЕЛЕЗОБЕТОННОГО СЕЧЕНИЯ………………………………………. | |
| ПРИМЕР 4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАСЧЁТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК НАГРУЗКИ И НЕСУЩЕЙ СПОСОБНОСТИ СЕЧЕНИЯ ПРИ ЗАДАН-НОМ УРОВНЕ БЕЗОПАСНОСТИ………….…………………………….. | |
| ПРИЛОЖЕНИЕ…………………………………………………………… | |
| СОДЕРЖАНИЕ…………………………………………………………… | |
Учебное издание